Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，点F是DE的中点，AB与AG关于AE对称，AE与AF关于AG对称．

（1）求证：△AEF是等边三角形；

（2）若AB=2，求△AFD的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）S△ADF=．

【解析】（1）先根据轴对称性质及BC∥AD证△ADE为直角三角形，由F是AD中点知AF=EF，再结合AE与AF关于AG对称知AE=AF，即可得证；

（2）由△AEF是等边三角形且AB与AG关于AE对称、AE与AF关于AG对称知∠EAG=30°，据此由AB=2知AE=AF=DF=、AH=，从而得出答案．

（1）∵AB与AG关于AE对称，

∴AE⊥BC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴AE⊥AD，即∠DAE=90°，

∵点F是DE的中点，即AF是Rt△ADE的中线，

∴AF=EF=DF，

∵AE与AF关于AG对称，

∴AE=AF，

则AE=AF=EF，

∴△AEF是等边三角形；

（2）记AG、EF交点为H，

∵△AEF是等边三角形，且AE与AF关于AG对称，

∴∠EAG=30°，AG⊥EF，

∵AB与AG关于AE对称，

∴∠BAE=∠GAE=30°，∠AEB=90°，

∵AB=2，

∴BE=1、DF=AF=AE=，

则EH=AE=、AH=，

∴S△ADF=×．