Question

5．如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=-x²+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=$\frac{1}{2}$x刻画．
（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；
（2）小球的落点是A，求点A的坐标；
（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；
（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；
（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；
（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S_△POA=S_△POQ+S_梯形PQBA-S_△BOA，代入数值计算即可求解；
（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+3}\\{y=-{x}^{2}+4x}\end{array}\right.$，解方程组即可求出点M的坐标．

解答 解：（1）由题意得，y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；

（2）联立两解析式可得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+4x}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{2}}\\{y=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$．
故可得点A的坐标为（$\frac{7}{2}$，$\frac{7}{4}$）；

（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．
S_△POA=S_△POQ+S_梯形PQBA-S_△BOA
=$\frac{1}{2}$×2×4+$\frac{1}{2}$×（$\frac{7}{4}$+4）×（$\frac{7}{2}$-2）-$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}$×$\frac{7}{4}$
=4+$\frac{69}{16}$-$\frac{49}{16}$
=$\frac{21}{4}$；


（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．
设直线PM的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+b，
∵P的坐标为（2，4），
∴4=$\frac{1}{2}$×2+b，解得b=3，
∴直线PM的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+3．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+3}\\{y=-{x}^{2}+4x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{15}{4}}\end{array}\right.$，
∴点M的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，三角形的面积，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．