Question

2．如图，⊙O的半径是4，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是（　　）

• A． $4\sqrt{2}$
• B． $8\sqrt{2}$
• C． $12\sqrt{2}$
• D． $16\sqrt{2}$

Answer 1

分析 过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周角定理得∠AOB=2∠AMB=90°，则△OAB为等腰直角三角形，所以AB的长度可以求得，然后根据S_{四边形MANB}=S_△MAB+S_△NAB，而当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，则MN是与AB垂直的直径时，四边形的面积最大，据此即可求解．

解答 解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、AA、EB，如图，
∵∠AMB=45°，
∴∠AOB=2∠AMB=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$OA=4$\sqrt{2}$，
∵S_{四边形MANB}=S_△MAB+S_△NAB，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值=S_{四边形DAEB}=S_△DAB+S_△EAB=$\frac{1}{2}$AB•CD+$\frac{1}{2}$AB•CE=$\frac{1}{2}$AB（CD+CE）=$\frac{1}{2}$AB•DE=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×8=16$\sqrt{2}$．
故选D．

点评 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．