Question

如图，点P是等腰直角三角形ABC底边BC上一点，过点P作BA、AC的垂线，垂足是E、F，点D为BC的中点．
（1）求证：DE⊥DF；
（2）当点P在BC的延长线上时，DE⊥DF是否成立？说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）连接AD，根据等腰直角三角形的性质，得出∠BAC=90°，∠BAD=∠ACB=45°，AD⊥BC，AD=BD=CD=

1

2

BC，进而得出四边形AEPF是矩形，△PFC是等腰直角三角形，从而求得AE=FC，然后根据SAS证得△AED≌△CFD，得出∠ADE=∠CDF，根据等量代换即可证得结论；
（2）连接AD，根据等腰直角三角形的性质，得出∠BAC=90°，∠BAD=∠ACB=45°，AD⊥BC，AD=BD=CD=

1

2

BC，进而得出四边形AEPF是矩形，△PFC是等腰直角三角形，∠EAD=∠FCD=135°，从而求得AE=FC，然后根据SAS证得△AED≌△CFD，得出∠ADE=∠CDF，根据等量代换即可证得结论；

解答：（1）证明：如图1，连接AD，
∵等腰直角三角形ABC，点D为BC的中点．
∴∠BAC=90°，∠BAD=∠ACB=45°，AD⊥BC，AD=BD=CD=

1

2

BC，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC=90°，
∴四边形AEPF是矩形，△PFC是等腰直角三角形，
∴AE=PF，PF=FC，
∴AE=FC，
在△AED与△CFD中

AE=CF ∠EAD=∠FCD AD=DC

，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠ADF=90°，
∴DE⊥DF．

（2）当点P在BC的延长线上时，DE⊥DF成立；理由：
解：如图2，连接AD，
∵等腰直角三角形ABC，点D为BC的中点．
∴∠BAC=90°，∠CAD=∠ACB=45°，AD⊥BC，AD=BD=CD=

1

2

BC，
∴∠PCF=45°，
∴∠DCF=135°，
∵∠CAE=90°
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=45°+90°=135°
∴∠EAD=∠FCD，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，AB⊥AC，
∴四边形AEPF是矩形，△PFC是等腰直角三角形，
∴AE=PF，PF=FC，
∴AE=FC，
在△AED与△CFD中

AE=CF ∠EAD=∠FCD AD=DC

，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠ADF=90°，
∴DE⊥DF．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形斜边的中线、高、顶角平分线三线合一是本题的关键．