Question

1．如图，正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，AE=CF，EH⊥BF于点G，连接DG．
（1）若DE=6，tan∠FBC=$\frac{1}{3}$，求BF的长；
（2）求证：EG+FG=$\sqrt{2}$DG．

Answer 1

分析 （1）设正方形的边长为3a．则BC=AD=3a，由tan∠FBC=$\frac{1}{3}$=$\frac{FC}{BC}$，推出AE=FC=a，DE=AD-AE=2a，由DE=6，可得2a=6，求得a=3，在Rt△BFC中，根据BF=$\sqrt{C{F}^{2}+B{C}^{2}}$计算即可．
（2）作DM⊥DG交BF的延长线于M，只要证明△EDG≌△FDM，推出DG=DM，EG=FM，推出△DGM是等腰直角三角形，推出GM=$\sqrt{2}$DG，即可证明．

解答 （1）解：设正方形的边长为3a．则BC=AD=3a，
∵tan∠FBC=$\frac{1}{3}$=$\frac{FC}{BC}$，
∴AE=FC=a，DE=AD-AE=2a，
∵DE=6，
∴2a=6，
∴a=3，
在Rt△BFC中，BF=$\sqrt{C{F}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{9}^{2}}$=3$\sqrt{10}$．

（2）证明：作DM⊥DG交BF的延长线于M．
∵∠GDM=∠ADC=90°，
∴∠EDG=∠FDM，
∵∠DEG+∠DFG=180°，∠DFG+∠DFM=180°，
∴∠DEG=∠DFM，
∵AD=DC，AE=CF，
∴DE=DF，
在△DEG和△DFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEG=∠DFM}\\{DE=DF}\\{∠EDG=∠MDF}\end{array}\right.$，
∴△EDG≌△FDM，
∴DG=DM，EG=FM，
∴△DGM是等腰直角三角形，
∴GM=$\sqrt{2}$DG，
∵GM=FG+FM=FG+EG，
∴EG+FG=$\sqrt{2}$DG．

点评 南通考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．