在等边△ABC中.点D为AC上一点.连接BD.直线l与AB.BD.BC分别相交于点E.P.F.且∠BPF=60度．(1)如图1.写出图中所有与△BPF相似的三角形.并选择其中一对给予证明,(2)若直线l向右平移到图2.图3的位置时中的结论是否仍然成立?若成立.请写出来.若不成立.请说明理由,(3)探究:如图1.当BD满足什么条件时.PF=12PE?请写出探究� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且∠BPF=60度．
（1）如图1，写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
（2）若直线l向右平移到图2，图3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；
（3）探究：如图1，当BD满足什么条件时（其它条件不变），PF=

PE？请写出探

究结果，并说明理由．
（说明：结论中不得含有未标识的字母）

分析：（1）△BPF∽△EBF与△BPF∽△BCD这两组三角形都可由一个公共角和一组60°角来证得．
（2）成立，证法同（1）．
（3）先看PF=

PE能得出什么结论且∠BPF=60°，因为∠PFB=90°，所以∠PBF=90-60=30°，因此当BD平分∠ABC时，PF=

PE．

解答：（1）答：△BPF∽△EBF与△BPF∽△BCD．
以△BPF∽△EBF为例，
证明如下：
∵∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE，
∴△BPF∽△EBF．

（2）解：均成立，均为△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD．

（3）BD平分∠ABC时，PF=

PE．
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBF=30°．
∵∠BPF=60°，
∴∠BFP=90°．
∴PF=

PB．
又∵∠BEP=∠BPF-∠EBP=60°-30°=30°=∠ABP，
∴BP=EP，
∴PF=

PE．

点评：本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质等知识点．

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22、如图，在等边△ABC中，点D为AC中点，以AD为边作菱形ADEF，且AF∥BC，连接FC交DE于点G．
（1）求证：△ADB≌△AFC；
（2）写出图中除（1）以外的两对全等三角形（不要求写证明过程）．

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科目：初中数学 来源： 题型：

在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与线段BA、BD、BC分别相交于点E、P、F，且∠BPF=60°．
（1）如图1，写出图中所有与△BDC相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
（2）若直线l向右平移，与线段BA、BD、BC或其延长线分别相交于E、P、F，请在图2中画出一个与图1位置不尽相同的图形（其它条件不变），此时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；