Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的对称轴x轴交于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m，且S△CDP＝S△ABC，求m的值；

（3）K是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）m1＝4或m2＝；（3）点H坐标为（6，﹣4），（6，﹣2），（﹣18，﹣32）．

【解析】

（1）结合A（﹣2，0），B（8，0）由两点式可得抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣8），求出点C坐标，代入即可求出抛物线解析式；

（2）点P在抛物线上，可设P（m，﹣m2+m+4），结合C点坐标可得直线PC的解析式，已知直线与对称轴交点E的坐标，DE长可知，根据S△ABC＝×AB×OC求出其面积，由题中条件可知△CDP的面积，由三角形面积公式可得m的值；

（3）分类讨论，①若BC为边，∠CBK＝90°时，将BC绕点B逆时针旋转90°得到BC'，根据AAS证明△BCO≌△BC'E，依据全等的性质可得点B点C的坐标，求出直线BC的表达式与抛物线的解析式联立求解可得点K横坐标，由矩形的性质可知xC﹣xB＝xH﹣xK，，结合点B、C、D点坐标可得H点坐标.②若BC为边，∠BCK＝90°时，同理可求：直线CK的解析式，与抛物线的解析式联立求解可得点K横坐标，同理可得H点坐标；③若BC为对角线，由B点C点坐标可得BC的中点坐标及BC的长，点K在抛物线上，设设点K（x，﹣x2+x+4），利用勾股定理可求出x的值，选择符合题意的，求出点K坐标后结合KH的中点坐标可知H点坐标，综上所述，点H的坐标有3种情况.

（1）∵A（﹣2，0），B（8，0）

∴OA＝2，OB＝8，

∵OC＝2OA，

∴OC＝4，

∴点C（0，4）

∵设y＝a（x+2）（x﹣8）经过点C，

∴4＝﹣16a，

∴a＝﹣，

∴抛物线解析式为：y＝﹣（x+2）（x﹣8）＝﹣x2+x+4；

（2）如图1，

由题意：点D（3，0），

∴OD＝3，

设P（m，﹣m2+m+4），（m＞0，﹣m2+m+4＞0）

∵C（0，4），

∴直线PC的解析式可表示为：y＝（﹣m+）x+4，

设直线PC与对称轴的交点为E，则点E（3，﹣m+），

∴DE＝﹣m+，

∵S△ABC＝×AB×OC，

∴S△ABC＝×10×4＝20，

∵S△CDP＝S△ABC，

∴×（﹣m+）×m＝×20，

∴m1＝4或m2＝；

（3）若BC为边，∠CBK＝90°时，如图2，将BC绕点B逆时针旋转90°得到BC'，

∴BC＝BC'，∠CBC'＝90°，

∴∠CBO+∠C'＝90°，∠CBO+∠OCB＝90°，

∴∠OCB＝∠EBC'，且BC＝BC'，∠BEC'＝∠BOC＝90°，

∴△BCO≌△BC'E（AAS）

∴BE＝OC＝4，OB＝EC'＝8，

∴点C'（4，﹣8），且B（8，0）

∴直线BC'解析式为：y＝2x﹣16，

∴2x﹣16＝﹣x2+x+4，

∴x1＝﹣10，x2＝8，

∴点K（﹣10，﹣36），

∵xC﹣xB＝xH﹣xK，

∴0﹣8＝xH﹣（﹣10），

∴xH＝﹣18，

∵，

∴yH＝﹣32，

∴点H（﹣18，﹣32），

若BC为边，∠BCK＝90°时，

同理可求：直线CK的解析式为：y＝2x+4，

∴2x+4＝﹣x2+x+4，

∴x1＝﹣2，x2＝0，

∴点K坐标（﹣2，0）

∵，

∴0﹣8＝﹣2﹣xH，

∴xH＝﹣6，

∵，

∴yH＝﹣4，

∴点H（6，﹣4），

若BC为对角线，

∵B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形，

∴BC＝KH，BC与KH互相平分，

∵B（8，0），C（0，4）

∴BC中点坐标（4，2），BC＝＝＝4，

设点K（x，﹣x2+x+4）

∴（x﹣4）2+（﹣x2+x+4﹣2）2＝（2）2，

∴x（x﹣2）2（x﹣8）＝0，

∴x1＝0，x2＝2，x3＝8，

∴K（2，6），且KH的中点坐标（4，2），

∴点H（6，﹣2）

综上所述：点H坐标为（6，﹣4），（6，﹣2），（﹣18，﹣32）．