Question

16．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合），BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N，设AE=x．
（1）过点N作NF⊥AB，垂足为F，证明：△ABE≌△FNM；
（2）用含x的代数式表示线段AM；
（3）设四边形ADNM的面积为S，当AE为何值时，四边形ADMN的面积最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）欲证明△ABE≌△FNM，只要证明①∠A=∠MFN=90°，②∠FMN=∠AEB，③AB=FN即可．
（2）连接ME、根据MB=ME，利用勾股定理解答．
（3）根据梯形面积公式构建二次函数，利用二次函数的最值问题即可求出．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°，
∵∠ABC=∠C=∠NFB=90°，
∴四边形BCNF是矩形，
∴FN=BC=AB，
∵MN⊥BE，
∴∠AEB+∠ABE=90°，∠ABE+∠FMN=90°，
∴∠AEB=∠FMN，
在△ABE和△FNM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠NFM=90°}\\{∠AEB=∠FMN}\\{AB=FN}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FNM．

（2）连接ME，
∵MN垂直平分BE，
∴MB=ME，
在Rt△AME中，AE=x，ME=MB=2-AM，
∴（2-AM）²=x²+AM²，（3分）
∴AM=1-$\frac{1}{4}$x²，

（3）由（1）有AM=1-$\frac{1}{4}$x²，
由（1）可知△EBA≌△MNF，
∴EA=MF，∴DN=AF=AM+MF=AM+AE，
∴四边形ADNM的面积S=$\frac{AM+DN}{2}$×AD=$\frac{AM+AF}{2}$×2
=2AM+AE
=2（1-$\frac{1}{4}$x²）+x
=-$\frac{1}{2}$x²+x+2，
即所求关系式为S=-$\frac{1}{2}$x²+x+2．
∴x=1时，S的最大值为$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、梯形的面积公式、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识，正确寻找全等三角形解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．