Question

18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，-3），反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点A，动直线x=t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．
（1）求k的值；
（2）求△BMN面积的最大值；
（3）若MA⊥AB，求t的值．

Answer 1

分析 （1）把点A坐标代入y=$\frac{k}{x}$（x＞0），即可求出k的值；
（2）先求出直线AB的解析式，设M（t，$\frac{8}{t}$），N（t，$\frac{1}{2}$t-3），则MN=$\frac{8}{t}$-$\frac{1}{2}$t+3，由三角形的面积公式得出△BMN的面积是t的二次函数，即可得出面积的最大值；
（3）求出直线AM的解析式，由反比例函数解析式和直线AM的解析式组成方程组，解方程组求出M的坐标，即可得出结果．

解答 解：（1）把点A（8，1）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）得：
k=1×8=8，y=$\frac{8}{x}$，
∴k=8；
（2）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{1}{2}$，b=-3，
∴直线AB的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x-3；
设M（t，$\frac{8}{t}$），N（t，$\frac{1}{2}$t-3），
则MN=$\frac{8}{t}$-$\frac{1}{2}$t+3，
∴△BMN的面积S=$\frac{1}{2}$（$\frac{8}{t}$-$\frac{1}{2}$t+3）t=-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{3}{2}$t+4=-$\frac{1}{4}$（t-3）²+$\frac{25}{4}$，
∴△BMN的面积S是t的二次函数，
∵-$\frac{1}{4}$＜0，
∴S有最大值，
当t=3时，△BMN的面积的最大值为$\frac{25}{4}$；
（3）∵MA⊥AB，
∴设直线MA的解析式为：y=-2x+c，
把点A（8，1）代入得：c=17，
∴直线AM的解析式为：y=-2x+17，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+17}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$ 得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=16}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=1}\end{array}\right.$ （舍去），
∴M的坐标为（$\frac{1}{2}$，16），
∴t=$\frac{1}{2}$．

点评 本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、二次函数的最值问题、垂线的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要确定一次函数的解析式，由反比例函数解析式和直线AM的解析式组成方程组，解方程组才能得出结果．