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9.四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O.
(1)如图1,点P是正方形ABCD外一点,连接OP,以OP为一边,作正方形OPMN,且边ON与边BC相交,连接AP,BN.
①依题意补全图1;
②判断AP与BN的数量关系及位置关系,写出结论并加以证明;
(2)点P在AB延长线上,且∠APO=30°,连接OP,以OP为一边,作正方形OPMN,且边ON与BC的延长线恰交于点N,连接CM,若AB=2,求CM的长(不必写出计算结果,简述求CM长的过程)

分析 (1)①根据题意作出图形即可.②结论:AP=BN,AP⊥BN,只要证明△APO≌△BNO即可.
(2)在RT△CMS中,求出SM,SC即可解决问题.

解答 解:(1)①补全图形如图1所示,

②结论:AP=BN,AP⊥BN.
理由:延长NB交AP于H,交OP于K.
∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OB,AO⊥BO,
∴∠1+∠2=90°,
∵四边形OPMN是正方形,
∴OP=ON,∠PON=90°,
∴∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3,
在△APO和△BNO中,
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠1=∠3}\\{OP=ON}\end{array}\right.$,
∴△APO≌△BNO,
∴AP=BN,∴∠4=∠5,
在△OKN中,∠5+∠6=90°,
∵∠7=∠6,
∴∠4+∠7=90°,
∴∠PHK=90°,
∴AP⊥BN.

(2)解题思路如下:

a.首先证明△APO≌△BNO,AP=BN,∠OPA=ONB.
b.作OT⊥AB于T,MS⊥BC于S,由题意可知AT=TB=1,
c.由∠APO=30°,可得PT=$\sqrt{3}$,BN=AP=$\sqrt{3}$+1,可得∠POT=∠MNS=60°.
d.由∠POT=∠MNS=60°,OP=MN,
可证,△OTP≌△NSM,
∴PT=MS=$\sqrt{3}$,
∴CN=BN-BC=$\sqrt{3}$-1,
∴SC=SN-CN=2-$\sqrt{3}$,
在RT△MSC中,CM2=MS2+SC2
∴MC的长可求.

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活应用这些知识解决问题,属于中考常考题型.

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