Question

如图，AB与⊙O相切于点C，OA=OB．
（1）如图①，若⊙O的直径为8cm，AB=10cm，求OA的长（结果保留根号）；
（2）如图②，OA、OB与⊙O分别交于点D、E，连接CD、CE，若四边形ODCE为菱形，求的值．

Answer 1

解：（1）连接OC，
AB切⊙O于C，
∴OC⊥AB，
∵OA=OB，AB=10cm
∴AC=BC=AB=5cm，
在Rt△ACO中，OC=×8cm=4cm，AC=5cm，由勾股定理得：OA==（cm）；

（2）解：∵四边形ODCE为菱形，
∴DC=DO=OC，
∴△DOC是等边三角形，
∴∠DOC=∠DCO=60°，
∵AB切⊙O于C，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO=90°，
∴∠A=30°，
∴AO=2CO=2OD，
∴==．
分析：（1）连接OC，求出AC、BC的值，根据勾股定理求出AO即可；
（2）连接OC，求出等边三角形DCO，求出∠DOC=60°，求出∠A=30°，得出AO=2OC=2OD，即可得出答案．
点评：本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形性质，等边三角形的性质和判定，菱形的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．