Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且AB=3

5

，sin∠OAB=

5

5

，
（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O，C，A三点的抛物线的函数表达式；
（2）在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使以P，O，C，A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将点O，点A分别变换为点Q（-2k，0），点R（5k，0）（k＞1的常数），设过Q，R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为S_△QNM，△QNR的面积为S_△QNR，求S_△QNM：S_△QNR的值．

Answer 1

分析：（1）已知了AB的长以及∠OAB的正弦值，可过B作BD⊥x轴于D，即可求出BD和AD的长，进而可得出OD的长，由此可求出B点坐标，也就得出了C点坐标．然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）本题可分三种情况：
①CP∥OA，可将C点纵坐标代入抛物线的解析式中，即可求出P点坐标；然后判断CP是否与OA相等即可．如果不相等，则四边形POCA是梯形，反之则不是．
②OP∥AC，先求出直线AC的解析式，由于直线OP与直线AC平行，因此两函数的斜率相同，再根据O点坐标，可求出直线OP的解析式，然后联立抛物线的解析式即可求出P点坐标．然后判断OP是否与AC相等即可．
③AP∥OC，同②．
（3）先根据Q、R的坐标求出抛物线的解析式，然后求出N点和M点的坐标，由于抛物线的开口方向不确定，因此分两种情况，由于两种情况解法相同，以开口向上为例说明：
由于三角形QNM的面积无法直接求出，因此可将其面积化为其他图形面积的和差来求．过M作MG⊥x轴于G，则三角形QNM的面积可以用梯形QNMG的面积+三角形QON的面积-三角形QMG的面积来得出．然后分别表示出三角形QNM和QNR面积，进行比较即可．

解答：解：（1）如图，
过点B作BD⊥OA于点D．
在Rt△ABD中，
∵AB=3

5

，sin∠OAB=

5

5

，
∴BD=AB•sin∠OAB=3

5

×

5

5

=3．
又由勾股定理，
得AD=

AB2-BD2

=

(3 5 )2-32

=6．
∴OD=OA-AD=4．
∵点B在第一象限内，
∴点B的坐标为（4，3）．
∴点B关于x轴对称的点C的坐标为（4，-3）．
设经过O（0，0），C（4，-3），A（10，0）三点的抛物线的函数表达式为y=ax²+bx（a≠0）．
由

16a+4b=-3 100a+10b=0

?

a= 1 8 b=- 5 4

．
∴经过O，C，A三点的抛物线的函数表达式为y=

1

8

x²-

5

4

x．

（2）假设在（1）中的抛物线上存在点P，使以P，O，C，A为顶点的四边形为梯形．
①∵点C（4，-3）不是抛物线y=

1

8

x²-

5

4

x的顶点，
∴过点C作直线OA的平行线与抛物线交于点P₁．
则直线CP₁的函数表达式为y=-3．
对于y=

1

8

x²-

5

4

x，令y=-3，则x=4或x=6．
∴

x1=4 y1=-3

，

x2=6 y2=-3

．
而点C（4，-3），
∴P₁（6，-3）．
在四边形P₁AOC中，CP₁∥OA，显然CP₁≠OA．
∴点P₁（6，-3）是符合要求的点．
②若AP₂∥CO．设直线CO的函数表达式为y=k₁x．
将点C（4，-3）代入，
得4k₁=-3．
∴k₁=-

3

4

．
∴直线CO的函数表达式为y=-

3

4

x．
于是可设直线AP₂的函数表达式为y=-

3

4

x+b₁．
将点A（10，0）代入，
得-

3

4

×10+b₁=0．
∴b₁=

15

2

．
∴直线AP₂的函数表达式为y=-

3

4

x+

15

2

．
由

y=- 3 4 x+ 15 2 y= 1 8 x2- 5 4 x

?x2-4x-60=0，
即（x-10）（x+6）=0．
∴

x1=10 y1=0

，

x2=-6 y2=12

．
而点A（10，0），
∴P₂（-6，12）．
过点P₂作P₂E⊥x轴于点E，则P₂E=12．
在Rt△AP₂E中，由勾股定理，
得AP₂=

|P2E|2+|AE|2

=

122+162

=20．
而CO=OB=5．
∴在四边形P₂OCA中，AP₂∥CO，但AP₂≠CO．
∴点P₂（-6，12）是符合要求的点．
③若OP₃∥CA．设直线CA的函数表达式为y=k₂x+b₂．
将点A（10，0），C（4，-3）代入，
得

10k2+b2=0 4k2+b2=-3

?

k2= 1 2 b2=-5

．
∴直线CA的函数表达式为y=

1

2

x-5．
∴直线OP₃的函数表达式为y=

1

2

x．
由

y= 1 2 x y= 1 8 x2- 5 4 x

?x2-14x=0，
即x（x-14）=0．
∴

x1=0 y1=0

，

x2=14 y2=7

．
而点O（0，0），
∴P₃（14，7）．
过点P₃作P₃F⊥x轴于点F，则|P₃F|=7．
在Rt△OP₃F中，由勾股定理，
得OP₃=

|P3F|2+|OF|2

=

72+142

=7

5

．
而CA=AB=3

5

．
∴在四边形P₃OCA中，OP₃∥CA，但|OP₃|≠|CA|．
∴点P₃（14，7）是符合要求的点．
综上可知，在（1）中的抛物线上存在点P₁（6，-3），P₂（-6，12），P₃（14，7），
使以P，O，C，A为顶点的四边形为梯形．

（3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下．
①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y轴的负半轴交于点N．
可设抛物线的函数表达式为y=a（x+2k）（x-5k）（a＞0）．
即y=ax²-3akx-10ak²=a（x-

3

2

k）²-

49

4

ak²．
如图，过点M作MG⊥x轴于点G．
∵Q（-2k，0），R（5k，0），G（

3

2

k，0），N（0，-10ak²），M（

3

2

k，-

49

4

ak²），
∴QO=2k，QR=7k，OG=

3

2

k，QG=

7

2

k，ON=10ak²，MG=

49

4

ak²．
∴S_△QNR=

1

2

QR•ON=

1

2

×7k×10ak²=35ak³．
S_△QNM=S_△QNO+S_梯形ONMG-S_△QMG=

1

2

•QO•O|+

1

2

（ON+GM）•OG-

1

2

•QG•GM=

1

2

×2k×10ak²+

1

2

×（10ak²+

49

4

ak²）×

3

2

k-

1

2

×

7

2

k×

49

4

ak²=

21

4

ak³．
∴S△QNM：S△QNR=3：20．
②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y轴的正半轴交于点N．
同理，可得S_△QNM：S_△QNR=3：20．
综上可知，S_△QNM：S_△QNR的值为3：20．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定、梯形的判定和图形面积的求法等知识，要注意判定梯形的过程中不要忘了一组对边平行而另一组对边不平行的条件．