Question

如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在直线BD上，由B点到D点移动，
（1）当P点移动到离B点多远时，△ABP∽△PDC；
（2）当P点移动到离B多远时，∠APC=90°？

Answer 1

分析：（1）设出BP=xcm，由BD-BP=PD表示出PD的长，若△ABP∽△PDC，根据相似三角形的对银边成比例可得比例式，把各边的长代入即可列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为PB的长；
（2）若∠APC=90°，根据平角的定义可得剩下的两个角之和为90°，又根据AB⊥BD，CD⊥BD，得到一对直角相等，在直角三角形ABP中可得一对锐角之和为90°，等量代换可得∠A=∠CPD，根据两对对应角相等的两三角形相似可得△ABP∽△PDC，由（1）推出的三角形相似时BP的长可得解．

解答：解：（1）由AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，
设BP=xcm，则PD=（14-x）cm，
若△ABP∽△PDC，
∴

AB

PD

=

BP

DC

，即

6

14-x

=

x

4

，
变形得：14x-x²=24，即x²-14x+24=0，
因式分解得：（x-2）（x-12）=0，
解得：x₁=2，x₂=12，
∴BP=2cm或12cm时，△ABP∽△PDC；
若△ABP∽△CDP，

AB

CD

=

BP

DP

，即

6

4

=

x

14-x

，解得：x=8.4，
∴BP=8.4cm，
综上，BP=2cm或12cm或8.4cm时，△ABP∽△PDC；

（2）若∠APC=90°，则∠APB+∠CPD=90°，
又AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠APB=90°，
∴∠A=∠CPD，
∴△ABP∽△PDC，
由（1）得此时BP=2cm或12cm，
则当BP=2cm或12cm时，∠APC=90°．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的性质有相似三角形的对应边成比例，对应角相等；相似三角形的判定方法有：1、两对对应角相等的两三角形相似；2、两对对应边成比例且夹角相等的两三角形相似；3、三边对应成比例的两三角形相似，本题属于条件开放型探究题，其解法：类似于分析法，假设结论成立，逐步探索其成立的条件．