Question

8．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，B，C在x轴上，点D在第一象限内，AD=6，且$\sqrt{OA-4}+（OB-3）^{2}=0$．
（1）请直接写出点A、B、C的坐标；
（2）点P在y轴上，连接PC，且∠PCD=90°，求点P的坐标；
（3）点M在坐标轴上，点N在坐标平面内，若四边形AMCN为菱形，求点N的坐标，并直接判断（2）中所求点P与直线DN的位置关系．

Answer 1

分析 （1）根据平方和算术平方根的非负性列式得：OA=4，OB=3，则A（0，4），B（-3，0），根据平行四边形的对边相等得出C的坐标；
（2）如图1，利用三角形的内角和得：∠PCO=∠OAB，由等角的三角函数列式可求OP的长，写出P的坐标；
（3）如图2，作辅助线，构建菱形AMCN，设AM=x，则OM=4-x，由勾股定理求x的值，则AM=CM=$\frac{25}{8}$，OM=$\frac{7}{8}$，分别求出NH和OH的长，写出N的坐标，利用待定系数法求直线DN的解析式，判断点P与直线DN的位置关系．

解答 解：（1）∵$\sqrt{OA-4}+（OB-3）^{2}=0$，
∴OA-4=0，OB-3=0，
∴OA=4，OB=3，
∴A（0，4），B（-3，0），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∴OC=6-3=3，
∴C（3，0）；
（2）如图1，延长CP交AB于G，
∴∠AGP=∠COP=90°，
∵∠APG=∠OPC，
∴∠PCO=∠OAB，
tan∠PCO=tan∠OAB=$\frac{OP}{OC}=\frac{OB}{OA}$，
∴$\frac{OP}{3}=\frac{3}{4}$，
∴OP=$\frac{9}{4}$，
∴P（0，$\frac{9}{4}$）；
（3）如图2，作AC的中垂线MN，交y轴于M，交AC于G，根据菱形AMCN，则AM=CM，
设AM=x，则OM=4-x，
在Rt△COM中，由勾股定理得：x²=（4-x）²+3²，
∴x=$\frac{25}{8}$，
∴AM=CM=$\frac{25}{8}$，
∵AC=5，
∴AG=CG=$\frac{5}{2}$，
∴MG=$\sqrt{（\frac{25}{8}）^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{15}{8}$，
∴MN=2MG=$\frac{15}{4}$，
∵四边形AMCN是菱形，
∴∠CMN=∠AMN，
过N作NH⊥y轴于H，
cos∠AMN=cos∠CMN=$\frac{MH}{MN}=\frac{MG}{MC}$，
∴$\frac{MH}{\frac{15}{4}}=\frac{\frac{15}{8}}{\frac{25}{8}}$，
∴MH=$\frac{9}{4}$，
由勾股定理得：NH=$\sqrt{M{N}^{2}-M{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{15}{4}）^{2}-（\frac{9}{4}）^{2}}$=3，
OM=4-$\frac{25}{8}$=$\frac{7}{8}$，
∴OH=$\frac{7}{8}$+$\frac{9}{4}$=$\frac{25}{8}$，
∴N（3，$\frac{25}{8}$）；
设直线DN的解析式为：y=kx+b，
把D（5，4）和N（3，$\frac{25}{8}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=4}\\{3k+b=\frac{25}{8}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{7}{16}}\\{b=\frac{29}{16}}\end{array}\right.$，
∴直线DN的解析式为：y=$\frac{7}{16}$x+$\frac{29}{16}$，
∵P（0，$\frac{9}{4}$）；
∴P在直线DN外．

点评 本题考查了平行四边形和菱形的性质，同时考查了坐标与图形特点、二次根式与平方的非负性、三角函数、利用待定系数法求一次函数的解析式，难度适中，答题时注意看清题意．