Question

5．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．
（1）求证：BM=MN；
（2）若∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，写出求BN长的思路．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质得到BM=$\frac{1}{2}$AC，根据三角形中位线定理得到MN=$\frac{1}{2}$AD，根据题意证明；
（2）证明△NMB是等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可．

解答 （1）证明：∵∠ABC=90°，M为AC中点，
∴BM=$\frac{1}{2}$AC，
∵M为AC中点，N为DC中点，
∴MN=$\frac{1}{2}$AD，
∵AD=AC，
∴BM=MN；
（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB=30°，
∴BM=AM=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴∠MAB=∠MBA=30°，
∴∠CMB=60°
根据三角形中位线定理得，MN∥AD，MN=$\frac{1}{2}$AD=1，
∴∠DAC=∠NMC=30°，
∴△NMB是等腰直角三角形，
由勾股定理得，BN=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$..

点评 本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理以及等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．