Question

（1）已知恒等式x³-x²-x+1=（x-1）（x²+kx-1），求k的值；
（2）若x是整数，求证：

x3-x2-x+1

x2-2x+1

是整数．

Answer 1

分析：（1）先将等式右边展开计算，再根据多项式恒等的性质，两边对应项系数相等，列出关于k的方程，从而求出k的值；
（2）把（1）中k的值代入，可将x³-x²-x+1因式分解，再进行分式的除法运算，可求出

x3-x2-x+1

x2-2x+1

的结果，然后根据条件x是整数，即可得证．

解答：解：（1）由题设知，（x-1）（x²+kx-1）=x³+（k-1）x²-（k+1）x+1，
所以x³-x²-x+1=x³+（k-1）x²-（k+1）x+1，
从而有k-1=-1，-k-1=-1，
解得k=0．
故所求k的值为0；
（2）由（1）知k=0，则x³-x²-x+1=（x-1）（x²-1）=（x-1）²（x+1），
∴

x3-x2-x+1

x2-2x+1

=

(x-1)2(x+1)

(x-1)2

=x+1．
又∵x是整数，
∴x+1是整数．
故

x3-x2-x+1

x2-2x+1

是整数．

点评：本题主要考查了多项式乘多项式的法则，因式分解及分式的除法．由于多项式除以多项式的内容在初中教材大纲中不学习，故本题第二问有一定难度，属于竞赛题型．解决第一问的关键是根据多项式乘多项式的法则，利用两边对应项系数相等，列出关于k的方程；解决第二问的关键是利用（1）的结论，将多项式x³-x²-x+1因式分解．