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如图,面积为50的等腰直角△ABC中,P为斜边上一动点,PQ⊥AC于Q,连接PC,求当动点P运动到恰好使△PCQ的面积为10时,△PCQ的周长.
考点:一元二次方程的应用
专题:几何动点问题
分析:先由等腰直角△ABC的面积为50,根据三角形的面积公式求出AC=BC=10.再设PQ=y,则AQ=y,CQ=10-y.由△PCQ的面积为10,列出方程
1
2
y(10-y)=10,解方程求出y=5±
5
,利用勾股定理求出PC=
PQ2+CQ2
=2
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,根据△PCQ的周长=PQ+CQ+PC代入计算即可求解.
解答:解:设AC=x,则BC=x.
∵等腰直角△ABC的面积为50,
1
2
x2=50,
解得x=±10(负值舍去),
∴AC=BC=10.
设PQ=y,则AQ=y,CQ=10-y.
∵△PCQ的面积为10,
1
2
y(10-y)=10,
解得y=5±
5

当y=5+
5
时,PQ=5+
5
,CQ=5-
5
,PC=
PQ2+CQ2
=2
15

当y=5-
5
时,PQ=5-
5
,CQ=5+
5
,PC=
PQ2+CQ2
=2
15

∴△PCQ的周长=PQ+CQ+PC=10+PC=10+2
15
点评:本题考查了一元二次方程的应用,三角形的面积,勾股定理,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.
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