Question

如图，△AP₁B中，BP₁⊥AP₁，AP₁=2，∠A=30°，P₁Q₁⊥AB，Q₁P₂⊥AP₁，P₂Q₂⊥AB，Q₂P₃⊥AP₁…，P_nQ_n⊥AB，P_n+1Q_n⊥AP₁，则S=P₁Q₁+P₂Q₂+…+P_nQ_n+…的值为

1. A.
   2
2. B.
   3
3. C.
   4
4. D.
   8

Answer 1

C
分析：在Rt△AP₁Q₁中，由AP₁=2，∠A=30°，求P₁Q₁，再由30°的直角三角形中，P₂Q₂=P₂Q₁•cos30°=P₁Q₁•cos30°•cos30°=（）²P₁Q₁=P₁Q₁，得出一般规律，再求和．
解答：在Rt△AP₁Q₁中，∵AP₁=2，∠A=30°，
∴P₁Q₁=AP₁=1，
由30°的直角三角形的性质可知，
P₂Q₂=P₁Q₁=，P₃Q₃=P₂Q₂=（）²，…，P_nQ_n=（）^n-1，
∴S=P₁Q₁+P₂Q₂+…+P_nQ_n+…=1++（）²+…+（）^n-1+…，①
①×得，S=+1++（）²+…+（）^n-2+…，②
②-①得S-S=-（）^n-1…，
当n较大时，（）^n-1接近0，此时，S-S=，
解得S=4．
故选C．
点评：本题考查了图形的变化，含30°的直角三角形的性质．关键是由易到难，由特殊到一般找出线段长度的变化规律．