Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣2，0）、B（﹣3，3），顶点为C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P是第一象限内的抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=x2+2x；(2)见解析.

【解析】

（1）利用待定系数法直接求出抛物线的解析式；（2）分两种情况讨论，①若△AMP∽△BOC，②若△PMA∽△BOC，根据相似三角形对应边的比相等可以求出P点坐标.

解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），且过A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得

，

解得：．

故抛物线的解析式为：y=x2+2x；

（2）存在，

如图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：

BO2=18，CO2=2，BC2=20，

∴BO2+CO2=BC2．

∴△BOC是直角三角形．

假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似，

设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，

①若△AMP∽△BOC，则=，

即 x+2=3（x2+2x）

得：x1=，x2=﹣2（舍去）．

当x=时，y=，即P（，）．

②若△PMA∽△BOC，则=，

即：x2+2x=3（x+2）

得：x1=3，x2=﹣2（舍去）

当x=3时，y=15，即P（3，15）．

故符合条件的点P有两个，分别是P（，）和（3，15）．