Question

如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．
（1）求证：EF=EG；
（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD是正方形，点E与点A重合，易证得ED=EB，∠D=∠EBG=90°，又由∠GEF=90°，利用同角的余角相等，即可得∠BEG=∠DEF，然后利用ASA即可判定△BEG≌△DEF，则可证得EF=EG；
（2）首先过点E作EH⊥CD于H，作EK⊥BC于K，易证得四边形EKCH是正方形，同（1）即可证得△GEK≌△FEH，证得EF=EG．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，点E与点A重合，
∴ED=EB，∠D=∠EBG=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠BEG+∠BEF=∠BEF+∠DEF=90°，
∴∠BEG=∠DEF，
在△BEG和△DEF中，

∠BEG=∠DEF EB=ED ∠EBG=∠D

，
∴△BEG≌△DEF（ASA），
∴EF=EG；

（2）成立．理由：
解：过点E作EH⊥CD于H，作EK⊥BC于K，
∴∠EHC=∠EKC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠HCE=45°，
∴四边形EKCH是矩形，∠HEC=∠HCE=45°，
∴EH=CH，
∴四边形EKCH是正方形，
∴EH=EK，∠EHF=∠EKG=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠GEK+∠KEF=∠KEF+∠FEH=90°，
∴∠GEK=∠FEH，
在△GEK和△FEH中，

∠GEK=∠FEH EK=EH ∠EKG=∠EHF

，
∴△GEK≌△FEH（ASA），
∴EF=EG．

点评：此题考查了正方形的判定与性质与全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．