如图1.在Rt△ABC中.∠C=90°.BC=4.AC=8.点D为边AB的中点.DE⊥AB交边AC于点E.(1)AE EB(2)求AE的长,(3)如图2.点P从点B出发以每秒1个单位长度向点C运动,同时点Q从点C出发以每秒2个单位长度向点A运动.设运动时间为t秒．①在点P.Q运动过程中.四边形CPDQ的面积是否发生变化.并说明理由,②当t为何值时.△DEQ为等腰三角形� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D为边AB的中点，DE⊥AB交边AC于点E，
（1）AE

EB（填“＞”、“=”、“＜”）
（2）求AE的长；
（3）如图2，点P从点B出发以每秒1个单位长度向点C运动；同时点Q从点C出发以每秒2个单位长度向点A运动，设运动时间为t秒．
①在点P、Q运动过程中，四边形CPDQ的面积是否发生变化，并说明理由；
②当t为何值时，△DEQ为等腰三角形．

考点：勾股定理,三角形的面积,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的判定,三角形中位线定理

专题：动点型

分析：（1）根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE=EB；
（2）设AE=BE=x，表示出CE，然后利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）①连接CD，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半表示出点D到AC、BC的距离，再根据S_{四边形CPDQ}=S_△CDP+S_△CDQ列式整理即可得解；
②利用勾股定理列式求出AB，再求出AD，然后利用相似三角形对应边成比例列式求出AE、DE，再分情况讨论求解即可．

解答：解：（1）∵点D为边AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是AB的垂直平分线，
∴AE=EB；
故答案为：=；

（2）设AE=BE=x，则CE=AC-AE=8-x，
在Rt△BCE中，BC²+CE²=BE²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
所以AE=5；

（3）①如图2，连接CD，∵点D为边AB的中点，
∴点D到AC、BC的距离分别为

BC=

×4=2，

AC=

×8=4，
∴S_{四边形CPDQ}=S_△CDP+S_△CDQ，
=

×（4-t）×4+

×2t×2，
=8-2t+2t，
=8，
所以，四边形CPDQ的面积不发生变化；

②如图3，由勾股定理得，AB=

AC2+BC2

82+42

，
∵点D为边AB的中点，
∴AD=

AB=

×4

，

∵DE⊥AB，
∴∠ADE=∠C=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴

，
即

，
解得DE=

，AE=5，
∴CE=AC-AE=8-5=3，
若DE=EQ，则CQ=CE-EQ=3-

，
或CQ=CE+EQ=3+

，
此时，t=

或t=

，
若DE=DQ，过点D作DF⊥AC于F，
∵点D为边AB的中点，
∴DF为△ABC的中位线，
∴CF=

AC=

×8=4，
∴EF=CF-CE=4-3=1，
∴CQ=4+1=5，
此时，t=

，
综上所述，t=

或

时，△DEQ为等腰三角形．

点评：本题考查了勾股定理，三角形的面积，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，综合题型题目，难点在于（3）要分情况讨论．

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