Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，CB的延长线交过A、B、D三点的圆于点E．
（1）判断线段AE与CE之间的数量关系，并加以证明；
（2）若过A、B、D三点的圆记为⊙O，过E点作⊙O的切线交AC的延长线于点F，且CD：CF=1：2，求：cosF的值．

Answer 1

分析：（1）连接BD，由于点D是AC的中点，根据直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半知，BD=CD?∠CDB=∠DCB，又根据圆内接四边形的性质“圆内接四边形的外角等于它的内对角”知∠CBD=∠CAE，故∠CAE=∠ACE?AE=CE；
（2）由于CD：CF=1：2和CD=

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AC，故有AC=CF，即点C是Rt△AEF的斜边上的中点，有AC=CE，由1中的AE=CE知，AE=CE=AC，故△ACE是等边三角形，∠F=30°，即可求得cosF的值．

解答：（1）AE=CE；
证明：接结BD，
∵点D是AC的中点，∠ABC=90°，
∴BD=CD，
∴∠CBD=∠DCB，
又∵四边形ADBE是圆内接四边形，
∴∠CBD=∠CAE，
∴∠CAE=∠ACE，
∴AE=CE；

（2）解：∵∠ABE=90°，
∴AE是直径，
∵EF是过点E的切线，
∴∠AEF=90°；
∵CD：CF=1：2，CD=

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AC，
∴AC=CF，点C是Rt△AEF的斜边上的中点，
∴AC=CE，
由1中的AE=CE知，AE=CE=AC，
∴△ACE是等边三角形，∠FAE=60°，
∴∠F=30°，cosF=

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点评：本题利用了直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，等边对等角，切线的性质，等边三角形的判定和性质求解．