Question

如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE=∠CBP，BE=BP．
（1）在图中是否存在两个全等的三角形，若存在请写出这两个三角形并证明；若不存在请说明理由；
（2）若（1）中存在，这两个三角形通过旋转能够互相重合吗？若重合请说出旋转的过程；若不重合请说明理由；
（3）PB与BE有怎样的位置关系，说明理由；
（4）若PA=1，PB=2，∠APB=135°，求AE的值．

Answer 1

分析：（1）由AB=CB，∠ABE=∠CBP，BE=BP，可证：△CPB≌△AEB，故在图中存在两个全等的三角形；
（2）△CPB绕B点按顺时针方向旋转90°可得到△AEB，故这两个三角形通过旋转能够互相重合；
（3）由∠ABE=∠CBP，∠CBP+∠ABP=90°，可得：∠ABP+∠ABE=90°，故PB⊥BE；
（4）在Rt△PBE中，BE=BP，可得：∠BPE=45°，PE=

2

PB；又∠APB=135°可得：∠APE=90°，故在Rt△APB中，运用勾股定理可将AE的长求出．

解答：解：（1）存在，△CPB≌△AEB．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，
∵∠ABE=∠CBP，BE=BP，
∴△CPB≌△AEB；

（2）能重合．△CPB绕B点按顺时针方向旋转90°可得到△AEB；

（3）PB⊥BE．
理由如下：由（1）知：△CPB≌△AEB，
∴∠ABE=∠CBP，
∵四边形ACBD是正方形，
∴∠ABC=90°即∠CBP+∠ABP=90°，
∴∠ABE+∠ABP=90°，
∴PB⊥BE；

（4）连接PE，
∵PB=EB，
∴∠BPE=∠BEP，
∵∠PBE=90°，
∴∠BPE=45°，
∵∠APB=135°，
∴∠APE=∠APB-∠BPE=90°，
在Rt△BPE中，PE=

PB2+EB2

=

22+22

=

8

=2

2

，
在Rt△APE中，AE=

AP2+PE2

=

12+( 8 )2

=

9

=3．

点评：本题主要考查全等三角形的判定定理及勾股定理在解直角三角形中的应用．