Question

9．如图，⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（-3，1），点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（1，-$\sqrt{3}$），点D在x轴上，且点D在点A的右侧．
（1）求菱形ABCD的周长；
（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，菱形ABCD沿x轴向左以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与AD相切，且切点为AD的中点时，连接AC，求t的值及∠MAC的度数；
（3）在（2）的条件下，当点M与AC所在的直线的距离为1时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）过点B作BE⊥AD，垂足为E．由点A和点B的坐标可知：BE=$\sqrt{3}$，AE=1，依据勾股定理可求得AB的长，从而可求得菱形的周长；
（2）记⊙M与x轴的切线为F，AD的中点为E．先求得EF的长，然后根据路程=时间×速度列出方程即可；平移的图形如图3所示：过点B作BE⊥AD，垂足为E，连接MF，F为⊙M与AD的切点．由特殊锐角三角函数值可求得∠EAB=60°，依据菱形的性质可得到∠FAC=60°，然后证明△AFM是等腰直角三角形，从而可得到∠MAF的度数，故此可求得∠MAC的度数；
（3）如图4所示：连接AM，过点作MN⊥AC，垂足为N，作ME⊥AD，垂足为E．先求得∠MAE=30°，依据特殊锐角三角函数值可得到AE的长，然后依据3t+2t=5-AE可求得t的值；如图5所示：连接AM，过点作MN⊥AC，垂足为N，作ME⊥AD，垂足为E．依据菱形的性质和切线长定理可求得∠MAE=60°，然后依据特殊锐角三角函数值可得到EA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，最后依据3t+2t=5+AE．列方程求解即可．

解答 解：（1）过点B作BE⊥AD，垂足为E．

∵B（1，-$\sqrt{3}$），A（2，0），
∴BE=$\sqrt{3}$，AE=1．
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=2．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=CD=AD．
∴菱形的周长=2×4=8．
（2）如图2所示：⊙M与x轴的切线为F，AD的中点为E．

∵M（-3，1），
∴F（-3，0）．
∵AD=2，且E为AD的中点，
∴E（3，0）．
∴EF=6．
∴2t+3t=6．
解得：t=$\frac{6}{5}$．
平移的图形如图3所示：过点B作BE⊥AD，垂足为E，连接MF，F为⊙M与AD的切点．

∵由（1）可知；AE=1，BE=$\sqrt{3}$，
∴tan∠EAB=$\sqrt{3}$．
∴∠EAB=60°．
∴∠FAB=120°．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠FAC=$\frac{1}{2}$∠FAB=$\frac{1}{2}$×120°=60°．
∵AD为⊙M的切线，
∴MF⊥AD．
∵F为AD的中点，
∴AF=MF=1．
∴△AFM为等腰直角三角形．
∴∠MAF=45°．
∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=45°+60°=105°．
（3）如图4所示：连接AM，过点作MN⊥AC，垂足为N，作ME⊥AD，垂足为E．

∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=120°，
∴∠DAC=60°．
∵AC、AD是圆M的切线，
∴∠MAE=30°．
∵ME=MN=1，
∴EA=$\sqrt{3}$．
∴3t+2t=5-$\sqrt{3}$．
∴t=1-$\frac{\sqrt{3}}{5}$．
如图5所示：连接AM，过点作MN⊥AC，垂足为N，作ME⊥AD，垂足为E．

∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=120°，
∴∠DAC=60°．
∴∠NAE=120°．
∵AC、AD是圆M的切线，
∴∠MAE=60°．
∵ME=MN=1，
∴EA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴3t+2t=5+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴t=1+$\frac{\sqrt{3}}{15}$．
综上所述当t=1-$\frac{\sqrt{3}}{5}$或t=1+$\frac{\sqrt{3}}{15}$时，圆M与AC相切．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了切线的性质、切线长定理、菱形的性质、特殊锐角三角函数值、勾股定理的应用根据题意列出关于t的方程是解题的关键．