Question

7．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，请看下面的案例．
Ⅰ、如图1，已知△ABC，分别以AB、AC为边，在BC同侧作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．
（1）通过证明△ADC≌△ABE，可以得到DC=BE；
Ⅱ、如图2，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到四边形EFGH，我们称四边形EFGH为四边形ABCD的中点四边形，连接BD，利用三角形中位线的性质，可得EH∥BD，EH=$\frac{1}{2}$BD，同理可得FG∥BD，FG=$\frac{1}{2}$BD，所以EH∥FG，EH=FG，所以四边形EFGH是平行四边形；
拓展应用
（2）如图3，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想四边形EFGH的形状，并证明；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，四边形EFGH的形状是正方形．

Answer 1

分析 （1）如图1，先利用等边三角形的性质得AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，则∠DAC=∠BAE，于是根据“SAS”可证明△DAC≌△BAE，然后根据全等的性质可得到DC=BE；
（2）连接AC、BD，如图3，先证明△PBD≌△APC得到BD=AC，再利用三角形中位线性质得到HG=$\frac{1}{2}$AC，HE=$\frac{1}{2}$BD，则HG=HE，接着根据题中结论和菱形的判定方法可判断四边形EFGH为菱形；
（3）AC与BD相交于点M，BD交AP于N，如图3，利用△PBD≌△APC得到∠PBD=∠PAC，则根据三角形内角和得到∠AMN=∠APB=90°，再利用三角形中位线性质得EH∥BD，HG∥AC，所以EH⊥HG，然后利用（2）中结论和正方形的判定方法可判断四边形EFGH为正方形．

解答 解：（1）如图1，
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△ADC和△ABE中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE；
（2）四边形EFGH为菱形；理由如下：
连接AC、BD，如图3，
∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+APD=∠CPD+∠APD，即∠BPD=∠APC，
在△PBD和△APC中
$\left\{\begin{array}{l}{PB=PA}\\{∠BPD=∠APC}\\{PD=PC}\end{array}\right.$，
∴△PBD≌△APC，
∴BD=AC，
∵HG=$\frac{1}{2}$AC，HE=$\frac{1}{2}$BD，
∴HG=HE，
∵四边形HEFG为平行四边形，
∴四边形EFGH为菱形；
（3）AC与BD相交于点M，BD交AP于N，如图3，
∵△PBD≌△APC，
∴∠PBD=∠PAC，
而∠ANM=∠BNP，
∴∠AMN=∠APB=90°，
∴AC⊥BD，
∵EH∥BD，HG∥AC，
∴EH⊥HG，
∴∠EHG=90°，
∵四边形EFGH为菱形，
∴四边形EFGH为正方形．
故答案为ADC，ABE；正方形．

点评 本题考查了四边形的综合题：熟练掌握三角形中位线性质与平行四边形、菱形和正方形的判定和性质；会利用全等三角形的知识解决线段相等的问题；通过此题，学会运用类比、转化、从特殊到一般等思想方法解决数学问题．