Question

3．如图，直角三角形ABC中，AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点．PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为$\frac{2}{5}\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先连接PC，判定四边形ECFP是矩形，得到EF=PC，再根据当PC最小时，EF也最小，根据垂线段最短，可得当CP⊥AB时，PC最小，最后根据面积法，求得CP的长即可得到线段EF长的最小值．

解答 解：连接PC，
∵PE⊥BC，PF⊥CA，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF=PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
∵垂线段最短，
∴当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC=1，BC=2，
∴AB=$\sqrt{5}$，
又∵当CP⊥AB时，$\frac{1}{2}$×AC×BC=$\frac{1}{2}$×AB×CP，
∴PC=$\frac{AC×BC}{AB}$=$\frac{1×2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}\sqrt{5}$．
∴线段EF长的最小值为$\frac{2}{5}\sqrt{5}$．
故答案为：$\frac{2}{5}\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理以及垂线段最短的综合应用，解决问题的关键是运用矩形对角线相等的性质进行求解．