Question

7．当a=2，b=4时，第三边c分别在什么范围内取值时，△ABC是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？

Answer 1

分析 根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c点的最大值，然后得到c的取值范围，然后分情况讨论即可得解．

解答 解：（1）∵当c为最长边时，2+4=6，
∴4≤c＜6，
a²+b²=2²+4²=20，
①a²+b²＞c²，即c²＜20，0＜c＜2$\sqrt{5}$，
∴当4≤c＜2$\sqrt{5}$时，这个三角形是锐角三角形；
②a²+b²=c²，即c²=20，c=2$\sqrt{5}$，
∴当c=2$\sqrt{5}$时，这个三角形是直角三角形；
③a²+b²＜c²，即c²＞20，c＞2$\sqrt{5}$，
∴当2$\sqrt{5}$＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形；
∵（2）当b为最长边时，
∴2＜c＜4，
∴b²-a²=4²-2²=12，
①a²+c²＞b²，即c²＞12，2$\sqrt{3}$＜c＜4，
∴当2$\sqrt{3}$＜c＜4时，这个三角形是锐角三角形；
②a²+c²=b²，即c²=12，c=2$\sqrt{3}$，
∴当c=2$\sqrt{3}$时，这个三角形是直角三角形；
③a²+c²＜b²，即c²＜12，0＜c＜2$\sqrt{3}$，
∴当0＜c＜2$\sqrt{3}$时，这个三角形是钝角三角形．

点评 本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键．