Question

14．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴、y轴上，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，连接OM、ON、MN．
（1）证明△OCN≌△OAM；
（2）若∠NOM=45°，MN=2，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）由点M、N都在y=$\frac{k}{x}$的图象上，即可得出S_△ONC=S_△OAM=$\frac{1}{2}$|k|，再由正方形的性质可得出OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，结合三角形的面积公式即可得出CN=AM，进而即可证出△OCN≌△OAM（SAS）；
（2）将△OAM绕点O逆时针旋转90°，点M对应M′，点A对应A′，由旋转和正方形的性质即可得出点A′与点C重合，以及N、C、M′共线，通过角的计算即可得出∠M'ON=∠MON=45°，结合OM′=OM、ON=ON即可证出△M'ON≌△MON（SAS），由此即可得出M′N=MN=2，再由（1）△OCN≌△OAM即可得出CN=AM，通过边与边之间的关系即可得出BM=BN，利用勾股定理即可得出BM=BN=$\sqrt{2}$，设OC=a，则M′N=2CN=2（a-$\sqrt{2}$），由此即可得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出点C的坐标．

解答 解：（1）∵点M、N都在y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴S_△ONC=S_△OAM=$\frac{1}{2}$|k|．
∵四边形ABCO为正方形，
∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，
∴$\frac{1}{2}$OC•CN=$\frac{1}{2}$OA•AM．
∴CN=AM．
在△OCN和△OAM中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OA}\\{∠OCN=∠OAM=90°}\\{CN=AM}\end{array}\right.$，
∴△OCN≌△OAM（SAS）．
（2）将△OAM绕点O逆时针旋转90°，点M对应M′，点A对应A′，如图所示．
∵OA=OC，
∴OA′与OC重合，点A′与点C重合．
∵∠OCM′+∠OCN=180°，
∴N、C、M′共线．
∵∠COA=90°，∠NOM=45°，
∴∠CON+∠MOA=45°．
∵△OAM旋转得到△OCM′，
∴∠MOA=∠M′OC，
∴∠CON+∠COM'=45°，
∴∠M'ON=∠MON=45°．
在△M'ON与△MON中，$\left\{\begin{array}{l}{OM′=OM}\\{∠M′ON=∠MON}\\{ON=ON}\end{array}\right.$，
∴△M'ON≌△MON（SAS），
∴MN=M'N=2．
∵△OCN≌△OAM，
∴CN=AM．
又∵BC=BA，
∴BN=BM．
又∠B=90°，
∴BN²+BM²=MN²，
∴BN=BM=$\sqrt{2}$．
设OC=a，则CN=AM=a-$\sqrt{2}$．
∵△OAM旋转得到△OCM′，
∴AM=CM'=a-$\sqrt{2}$，
∴M'N=2（$a-\sqrt{2}$），
又∵M'N=2，
∴2（$a-\sqrt{2}$）=2，
解得：$a=\sqrt{2}+1$，
∴C（0，$\sqrt{2}+1$）．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用SAS证出△OCN≌△OAM；（2）找出关于a的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键．