Question

18．求满足方程（x+y）²-2（xy）²=1的正整数解（x，y）．

Answer 1

分析 先将方程化成关于x的一元二次方程，要方程的解为正整数，必有△是完全平方数，得出y的值，代入原方程求出x的值，即可．

解答 解：原方程可化为：（1-2y²）x²+2yx+（y²-1）=0，
∵y为整数，
∴1-2y²≠0，
∴此方程可以看成关于x的一元二次方程，
∵x为整数，
∴△必是完全平方数，
∵△=（2y）²-4（1-2y²）（y²-1）
=8y⁴-8y²+4
=4（2y⁴-2y²+1）
=4[y⁴+（y⁴-2y²+1）]
=4[（y²）²+（y²-1）²]
∴[（y²）²+（y²-1）²]是完全平方数，
∵x，y是正整数，
∴y²-1和y²是连续整数，
∴y²-1=0，或y²-1=3，
∴y₁=-1（舍）y₂=1，y₃=-2（舍），y₄=2，
当y₂=1时，x₁=0（舍），x₂=2；
∴方程（x+y）²-2（xy）²=1的正整数解（2，1）．
当y₄=2时，x₃=-$\frac{3}{7}$（舍），x₄=1；
∴方程（x+y）²-2（xy）²=1的正整数解（1，2）．
即：方程（x+y）²-2（xy）²=1的正整数解（2，1）或（1，2）．

点评 此题是非一次方程（组）题，主要考查了一元二次方程的正整数解得讨论，连续整数的平方和是完全平方数，解本题的关键是△是完全平方数的y值的确定．