Question

给出如下一列数：2，

4

3

，

6

7

，

8

13

，

10

21

，…，则第n个数为

2n

n2-n+1

．（用含n的代数式表示）．

Answer 1

分析：观察不难发现，分子是连续的偶数，相邻的两个分数的分母的差是连续的偶数，设分母的通式为a_n，写出分母变化规律并求出a_n的表达式，然后写出即可．

解答：解：分子为连续的偶数，第1个数的分子是2，第2个数的分子是4，第3个数的分子是6，…，第n个数的分子是2n，
设第n个数的分母是a_n，∵2=

2

1

，
∴a₁=1，
a₂-a₁=3-1=2=2×1，
a₃-a₂=7-3=4=2×2，
a₄-a₃=13-7=6=2×3，
a₅-a₄=21-13=8=2×4，
…，
a_n-a_n-1=2（n-1），
a₁+a₂-a₁+a₃-a₂+a₄-a₃+a₅-a₄+…+a_n-a_n-1=1+2+2×1+2×2+2×3+2×4+…+2（n-1），
所以，a_n=1+2[1+2+3+4+…+（n-1）]=1+2×

(1+n-1)(n-1)

2

=n²-n+1，
所以，第n个数是

2n

n2-n+1

．
故答案为：

2n

n2-n+1

．

点评：本题是对数字变化规律的考查，仔细观察看出相邻两个数的分母的差是连续的偶数是解题的关键，分母的通项表达式求解有难度，希望同学们能够掌握．