Question

如图所示，四边形ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB=6，CD=3，AD=4．动点M、N分别从A、B两点同时出发，点M以每秒1个单位长的速度沿AB向点B运动；点N以每秒1个单位长的速度沿B-C-D运动；当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．设两个点的运动时间为t（秒）．
（1）线段BC的长为

 

；
（2）当t为何值时，MN∥AD？
（3）设△DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？
（4）请直接写出MN⊥BD时t的值．

Answer 1

分析：（1）利用AB∥DC，AB=6，CD=3，AD=4，得出BE=3，再利用勾股定理求出即可；
（2）首先证明△BMN∽△BEC，再利用比例式求出即可；
（3）分别从当点N在BC上时，过点N作NH⊥x轴于点H，交DC的延长线于点F，以及当点N在CD上时进行分析得出即可；
（4）MN与DB相交于P点，MN⊥BD，易证△MHN∽△DAB即可求出．

解答：解：（1）作CE⊥AB，
∵AB∥DC，AB=6，CD=3，AD=4．
∴BE=3，
∴CD=

CE2+BE2

=5，
故答案为：5；

（2）过点C作CE⊥AB于点E，
∵MN∥AD，
∴△BMN∽△BEC，
∴

BN

BC

=

BM

BE

，
即

t

5

=

6-t

3

，
∴t=

15

4

；

（3）①如图4，当点N在BC上时，过点N作NH⊥AB于点H，交DC的延长线于点F，
∴NH=

4

5

t，
∴NF=4-

4

5

t，
S=S_梯形ABCD-S_△ADM-S_△MNB-S_△CDN，
=

2

5

t²-

16

5

t+12（0≤t＜5），
∴S=

2

5

（t-4）²+

28

5

（0≤t＜5），
∴当t=4时，S_最小=

28

5

，
②当点N在CD上时，
S=-2t+16（5≤t≤6），
∴当t=6时，S_最小=4，
综上所述，当t=6时，S_最小=4，

（4）设MN与DB相交于P点，
∵MN⊥BD，易证△MHN∽△DAB，得出

MH

AD

=

HN

AB

，
解得：t=

45

16

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及直角梯形的性质和勾股定理的应用等知识，熟练地应用相似三角形的判定是解决问题的关键．