Question

如图，一个长方形的ABCD长为8cm，宽为6cm，E为边CD上的一点，现把Rt△ADE沿AE对折使得D点恰好落在边BC上的中点D′处．
（1）请说明Rt△ABD′与Rt△ECD′相似；
（2）求CE的长．

Answer 1

分析：（1）根据长方形的性质和折叠推出∠D=∠D'=90°，AD=AD'=8，AB=DC=6，DE=D'E，∠B=∠C=90°，求出∠BAD'=∠ED'C即可；
（2）设CE=x，DE=ED'=6-x，根据勾股定理求出BD'，在△CD'E中，根据勾股定理得到x的方程，求出方程的解即可．

解答：解：（1）证明：∵长方形的ABCD，把Rt△ADE沿AE对折使得D点恰好落在边BC上的中点D′处．
∴∠D=∠D'=90°，AD=AD'=8，AB=DC=6，DE=D'E，∠B=∠C=90°，
∴∠BAD'+∠AD'B=90°，∠AD'B+∠ED'C=90°，
∴∠BAD'=∠ED'C，
∴Rt△ABD'∽Rt△ECD'．

（2）设CE=x，DE=ED'=6-x，
在△ABD'中，由勾股定理得：BD'=

AD′2-AB2

=2

7

，
∴CD'=8-2

7

，
在△CD'E中，由勾股定理得：CD'²+CE²=D'E²，
代入求出x=

8 7 -14

3

，
CE=

8 7 -14

3

．

点评：本题主要考查对矩形的性质，相似三角形的性质和判定，折叠问题，勾股定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．