Question

如图，已知正方形ABCD的边长是8，E是AB边上的点，且AE=6，△DAE经过逆时针旋转后到达△DCF的位置．
（1）旋转中心是________，旋转角度是________，△DEF的形状是________三角形；
（2）现将△DCF向左平移，使DC与AB重合，得△ABH，AH交DE于点G．
①试说明：AH⊥DE；
②求AG的长．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，
即A绕D旋转到C点，
∴旋转中心是点D，旋转角度是90°，
∠EDF=∠ADC=90°，DE=DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
故答案为：点D，90°，等腰直角；

（2）①依题意，得：△ADE≌△BAH≌△CDF，
∴∠BAH=∠ADE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAH+∠GAD=90°，
∴∠ADE+∠GAD=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AH⊥DE；

②在Rt△ADE中，根据勾股定理，得：
DE===10，
∵S_△ADE=×AD×AE=×DE×AG，
∴DE×AG=AD×AE，
∴8×6=10×AG，
AG=4.8．
分析：（1）根据正方形性质得出AD=DC，∠ADC=90°，根据已知△DAE经过逆时针旋转后到达△DCF的位置即可得出旋转中心和旋转角度，根据旋转性质求出DE=DF，即可得出△DEF是等腰直角三角形；
（2）①根据旋转性质得出△ADE≌△BAH≌△CDF，推出∠BAH=∠ADE，根据正方形性质推出∠ADE+∠GAD=90°，求出∠AGD=90°，即可得出答案；②根据勾股定理求出DE，根据三角形的面积公式得出DE×AG=AD×AE，代入求出即可．
点评：本题考查了正方形性质，勾股定理，三角形的面积，旋转的性质，三角形的内角和定理等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，题目比较好，有一定的难度．