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    9．如图1，在四边形ABCD中，∠DAB被对角线AC平分，且AC2=AB•AD．我们称该四边形为“可分四边形”，∠DAB称为“可分角”．
    （1）如图2，在四边形ABCD中，∠DAB=60°，AC平分∠DAB，且∠BCD=150°，求证：四边形ABCD为“可分四边形”；
    （2）如图3，四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，如果∠DCB=∠DAB，则求∠DAB的度数；
    （3）现有四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，且AC=4，则△DAB的最大面积等于8．

    分析 （1）由已知得出∠DAC=∠CAB=30°，由三角形内角和定理得出∠D+∠ACD=150°，由∠BCD=∠ACD+∠ACB=150°，得出∠D=∠ACB，证明△ADC∽△ACB．得出对应边成比例，得出AC2=AB•AD，即可得出结论；
    （2）由已知条件可证得△ADC∽△ACB，得出D=∠ACB，再由已知条件和三角形内角和定理得出∠DAC+2∠DAC=180°，求出∠DA=60°，即可得出∠DAB的度数；
    （3）根据“可分四边形”的定义求出AB•AD，计算即可．

    解答 （1）证明：∵∠DAB=60°，AC平分∠DAB，
    ∴∠DAC=∠CAB=30°，
    ∴∠D+∠ACD=180°-30°=150°，
    ∵∠BCD=∠ACD+∠ACB=150°，
    ∴∠D=∠ACB，
    ∴△ADC∽△ACB．
    ∴AD：AC=AC：AB，
    ∴AC2=AB•AD，
    ∴四边形ABCD为“可分四边形”；
    （2）解：∵AC平分∠DAB，
    ∴∠DAC=∠BAC，
    ∵AC2=AB•AD，
    ∴AD：AC=AC：AB，
    ∴△ADC∽△ACB，
    ∴∠D=∠ACB，
    ∵∠DCB=∠DAB，
    ∴∠DCB=∠DCA+∠ACB=2∠DAC，
    ∵∠DAC+∠D+∠ACB=180°，
    ∴∠DAC+2∠DAC=180°，
    解得：∠DAC=60°，
    ∴∠DAB=120°；
    （3）∵四边形ABCD为“可分四边形”，AC=4，
    ∴AB•AD=AC2=16，
    当DA⊥DB时，△DAB的最大，最大面积为8，
    故答案为：8．

    点评 此题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、新定义四边形等知识；熟练掌握新定义四边形，证明三角形相似是解决问题的关键．

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