Question

17．已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）设OP=$\frac{3}{2}$AC，求∠CPO的正弦值；
（3）设AC=9，AB=15，求d+f的取值范围．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠OCA，由平行线的性质得到∠A=∠BOP，∠ACO=∠COP，等量代换得到∠COP=∠BOP，由切线的性质得到∠OBP=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）过O作OD⊥AC于D，根据相似三角形的性质得到CD•OP=OC²，根据已知条件得到$\frac{OC}{OP}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由三角函数的定义即可得到结论；
（3）连接BC，根据勾股定理得到BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{\;}}$=12，当M与A重合时，得到d+f=12，当M与B重合时，得到d+f=9，于是得到结论．

解答 解：（1）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∵AC∥OP，
∴∠A=∠BOP，∠ACO=∠COP，
∴∠COP=∠BOP，
∵PB是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴∠OBP=90°，
在△POC与△POB中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{∠COP=∠BOP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△COP≌△BOP，
∴∠OCP=∠OBP=90°，
∴PC是⊙O的切线；
（2）过O作OD⊥AC于D，
∴∠ODC=∠OCP=90°，CD=$\frac{1}{2}$AC，
∵∠DCO=∠COP，
∴△ODC∽△PCO，
∴$\frac{CD}{OC}=\frac{OC}{PO}$，
∴CD•OP=OC²，
∵OP=$\frac{3}{2}$AC，
∴AC=$\frac{2}{3}$OP，
∴CD=$\frac{1}{3}$OP，
∴$\frac{1}{3}$OP•OP=OC²
∴$\frac{OC}{OP}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sin∠CPO=$\frac{OC}{OP}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
∵AC=9，AB=15，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{\;}}$=12，
当CM⊥AB时，
d=AM，f=BM，
∴d+f=AM+BM=15，
当M与B重合时，
d=9，f=0，
∴d+f=9，
∴d+f的取值范围是：9≤d+f≤15．

点评 本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．