Question

19．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，O为边AB上一动点（不与A、B重合），以O为圆心OB为半径的圆交BC于点D，设OB=x，DC=y．
（1）如图1，求y关于x的函数关系式及定义域；
（2）当⊙O与线段AC有且只有一个交点时，求x的取值范围；
（3）如图2，若⊙O与边AC交于点E（有两个交点时取靠近C的交点），联结DE，当△DEC与△ABC相似时，求x的值．

Answer 1

分析 （1）连接OD，求得 OD∥AC，得出△BOD∽△BAC，$\frac{BO}{BA}$=$\frac{BD}{BC}$，从而求得$\frac{x}{5}$=$\frac{6-y}{6}$，即可求得y关于x的函数关系式．
（2）设切点为M，作BN⊥AC于N，连接OM，得出OM∥BN，$\frac{OM}{BN}$=$\frac{AO}{AB}$，根据三角形的面积公式求得BN=$\frac{24}{5}$，从而求得$\frac{x}{\frac{24}{5}}$=$\frac{5-x}{5}$，解得x=$\frac{120}{49}$，所以x=$\frac{120}{49}$或2.5＜x＜5时，⊙O与线段AC有且只有一个交点．
（3）①如果△DEC∽△ABC时，根据圆内接四边形的性质得出∠EDC=∠A，∠DEC=∠B，就可证得△DEC∽△ABC，从而证得AB是圆O的直径，即可求得x的值，②如果△DEC∽△BAC时，先证得四边形AODE是平行四边形，进而根据余弦函数即可求得．

解答 解：（1）如图1，连接OD，
∵OB=OD，AB=AC，
∴∠B=∠ODB．∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴$\frac{BO}{BA}$=$\frac{BD}{BC}$．
∵AB=AC=5，BC=6，OB=x，DC=y，
∴$\frac{x}{5}$=$\frac{6-y}{6}$，
∴y=-$\frac{6}{5}$x+6．
∵O为边AB上一动点（不与A、B重合），
∴0＜x＜5；
∴y关于x的函数关系式为y=-$\frac{6}{5}$x+6，定义域为0＜x＜5；

（2）如图2，当⊙O与AC相切时，设切点为M，⊙O与线段AC有且只有一个交点，
作BN⊥AC于N，连接OM，
∴OM⊥AC，
∴OM∥BN，
∴$\frac{OM}{BN}$=$\frac{AO}{AB}$，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BC边上的高为4，
∵$\frac{1}{2}$BC×4=$\frac{1}{2}$AC•BN，
∴BN=$\frac{24}{5}$，
∴$\frac{x}{\frac{24}{5}}$=$\frac{5-x}{5}$，
解得x=$\frac{120}{49}$，
∴x=$\frac{120}{49}$或2.5＜x＜5时，⊙O与线段AC有且只有一个交点．
（3）如图3，①若以AB为直径作圆O，交AC于E时，根据圆内接四边形的性质∠EDC=∠A，∠DEC=∠B，
则△DEC∽△ABC，
此时x=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$．
②若DE∥AB时，如图4，∵OB=OD=x，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴四边形AODE是平行四边形，
∴DE=OA=5-x，∠ODE=∠A，
作CM⊥AB于M，ON⊥DE于N，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴5²-AM²=6²-（5-AM）²，
解得AM=$\frac{7}{5}$，
∴cos∠A=$\frac{AM}{AC}$=$\frac{\frac{7}{5}}{5}$=$\frac{7}{25}$，
∵OD=OE，
∴DN=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{5-x}{2}$，
∴cos∠ODE=$\frac{DN}{OD}$=cos∠A=$\frac{7}{25}$，即$\frac{\frac{5-x}{2}}{x}$=$\frac{7}{25}$，
解得x=$\frac{125}{39}$．
综上，当△DEC与△ABC相似时，x的值为$\frac{5}{2}$或$\frac{125}{39}$．

点评 本题考查了切线的性质，三角形相似的判定和性质，三角形的面积等，作出辅助线构建相似三角形是本题的关键．