Question

19．在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知点A的坐标为（3，1），点B的坐标为（6，5），点C的坐标为（0，5）；某二次函数的图象经过点A、点B与点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）假如点Q在该函数图象的对称轴上，且△ACQ是等腰三角形，直接写出点Q的坐标；
（3）如果第一象限内的点P在（1）中求出的二次函数的图象上，且tan∠PCA=$\frac{1}{2}$，求∠PCB的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=3，再计算出AC=5，讨论：当AQ=AC=5时，以A为圆心，5为半径画弧，与直线x=3的交点即为Q点；当CQ=CA=5时，点Q与点A关于直线BC对称，利用对称性可确定此时Q点的坐标；当QA=QC时，设Q（3，t），利用两点间的距离公式得到（t-1）²=3²+（t-5）²，然后解方程求出t即可得到此时Q点坐标；
（3）PC交直线x=3于M，BC交直线x=3于H，作MN⊥AC于N，如图2，先证明Rt△AMN∽Rt△ACH，利用相似比得到$\frac{MN}{3}$=$\frac{AN}{4}$=$\frac{AM}{5}$，则可设MN=3k，AN=4k，AM=5k，再利用tan∠MCN=$\frac{MN}{CN}$=$\frac{1}{2}$得到CN=6k，所以10k=5，解得k=$\frac{1}{2}$，则AM=$\frac{5}{2}$，所以HM=$\frac{3}{2}$，然后在Rt△CHM中利用勾股定理计算出CM后利用正弦的定义求解即可．

解答 解：（1）设所求二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
把A（3，1），B（6，5），C（0，5）代入得$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=1}\\{36a+6b+c=5}\\{c=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{9}}\\{b=-\frac{8}{3}}\\{c=5}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{4}{9}$x²-$\frac{8}{3}$x+5；

（2）如图1，
∵点B与点C为抛物线上的对应点，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，点A为抛物线的顶点，
∵C（0，5），A（3，1），
∴AC=$\sqrt{{3}^{2}+（1-5）^{2}}$=5，
当AQ=AC=5时，点Q的坐标为（3，6）或（3，-4）；
当CQ=CA=5时，点Q与点A关于直线BC对称，则Q点的坐标为（3，9）；
当QA=QC时，设Q（3，t），则（t-1）²=3²+（t-5）²，解得t=$\frac{33}{8}$，则Q点坐标为（3，$\frac{33}{8}$）；
综上所述，满足条件的Q点的坐标为（3，6）或（3，-4）或（3，9）或（3，$\frac{33}{8}$）；

（3）PC交直线x=3于M，BC交直线x=3于H，作MN⊥AC于N，如图2，
易得CH=3，AH=4，AC=5，
∵∠MAN=∠CAH，
∴Rt△AMN∽Rt△ACH，
∴$\frac{MN}{CH}$=$\frac{AN}{AH}$=$\frac{AM}{AC}$，即$\frac{MN}{3}$=$\frac{AN}{4}$=$\frac{AM}{5}$，
设MN=3k，则AN=4k，AM=5k，
在Rt△CMN中，∵tan∠MCN=$\frac{MN}{CN}$=$\frac{1}{2}$，
∴CN=6k，
∴CA=6k+4k=10k，
∴10k=5，解得k=$\frac{1}{2}$，
∴AM=$\frac{5}{2}$，
∴HM=4-$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$，
在Rt△CHM中，CM=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴sin∠HCM=$\frac{HM}{CM}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
即∠PCB的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和等腰三角形的判定；会利用待定系数法求二次函数的解析式；能利用相似比表示线段之间的关系，会解直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；灵活应用分类讨论的思想解决数学问题．