Question

平面直角坐标系中有点A（2，1）和点B（-4，2）．则三角形AOB的周长为

37

+3

5

，面积为

4

．

Answer 1

分析：利用两点间的距离公式分别求得AB、AO、BO的长度，然后求△AOB的周长；通过直线AB的方程可以求得点C的坐标，然后根据S_△AOB=S_△BOC+S_△AOC可以求得三角形AOB的面积．

解答：解：∵A（2，1）、B（-4，2），
∴OB=

(-4)2+22

=2

5

，OA=

22+12

=

5

，AB=

(2-1)2+(-4-2)2

=

37

，
∴△AOB的周长=AB+OB+OA=

37

+3

5

；
设经过点A、B的直线方程是y=kx+b（k≠0），则

1=2k+b 2=-4k+b

，
解得，

k=- 1 6 b= 4 3

，
∴该直线方程是y=-

1

6

x+

4

3

，
∴点C的坐标为（0，

4

3

），
S_△AOB=S_△BOC+S_△AOC=

1

2

×

4

3

×4+

1

2

×

4

3

×2=4．
故答案是：

37

+3

5

；4．

点评：本题综合考查了勾股定理、坐标与图形性质以及三角形的面积．解答（2）的难点是根据点A、B的坐标求得过这两点的直线方程，根据该直线方程来求点C的坐标．