Question

15．如图，AB是圆O之间，C是圆O上一点，过C作CD⊥AB于D，EC与圆O相切于C且CE=CD．
（1）求证：AC平分∠ECD；
（2）过E作EG⊥AB于G交AC于F，若 AC=4，AO=$\sqrt{5}$，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）连接BC，由AB是圆O的直径，得到∠ACB=90°，推出∠ACD=∠B，由EC与圆O相切于C，得到∠B=∠ECA，等量代换即可得到结论．
（2）连接AE，OC，BC，得到∠ACB=90°，根据勾股定理得到BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=2，根据三角形的面积得到CD=$\frac{AC•CB}{AB}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）连接BC，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵EC与圆O相切于C，
∴∠B=∠ECA，
∴∠ECA=∠ACD，
∴AC平分∠ECD；

（2）连接AE，OC，BC，
则∠ACB=90°，
∵AC=4，AO=$\sqrt{5}$，
∴AB=2$\sqrt{5}$，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=2，
∴CD=$\frac{AC•CB}{AB}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵CE=CD，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CE}{CB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵∠ACE=∠B，
∴△ACE∽△ACB，
∴∠AEC=∠ACB=90°，
∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．