Question

14．如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦，过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D，连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．
（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AB=5$\sqrt{6}$，BC=10，求⊙O的半径及PC的长．

Answer 1

分析 （1）过C点作直径CE，连接EB，由CE为直径得∠E+∠BCE=90°，由AB∥DC得∠ACD=∠BAC，而∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD，所以∠E=∠BCP，于是∠BCP+∠BCE=90°，然后根据切线的判断得到结论；
（2）根据切线的性质得到OA⊥AD，而BC∥AD，则AM⊥BC，根据垂径定理有BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=5，根据等腰三角形性质有AC=AB=9，在Rt△AMC中根据勾股定理计算出AM的长度，设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM-r=5$\sqrt{5}$-r，在Rt△OCM中，根据勾股定理计算出r=3$\sqrt{5}$，由CE=2r，利用中位线性质得BE的长度，然后判断Rt△PCM∽Rt△CEB，根据相似比可计算出PC．

解答 解：（1）PC与圆O相切，理由为：
过C点作直径CE，连接EB，如图，
∵CE为直径，
∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，
∵AB∥DC，
∴∠ACD=∠BAC，
∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD．
∴∠E=∠BCP，
∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°，
∴CE⊥PC，
∴PC与圆O相切；

（2）∵AD是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥AD，
∵BC∥AD，
∴AM⊥BC，
∴BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=5，
∴AC=AB=5$\sqrt{6}$，
在Rt△AMC中，AM=$\sqrt{{AC}^{2}{-CM}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM-r=5$\sqrt{5}$-r，
在Rt△OCM中，OM²+CM²=OC²，即${（5\sqrt{5}-r）}^{2}$+5²=r²，
解得：r=3$\sqrt{5}$；
∴CE=2r=6$\sqrt{5}$，OM=5$\sqrt{5}$-r=2$\sqrt{5}$，
∴BE=2OM=4$\sqrt{5}$，
∵∠E=∠MCP，
∴Rt△PCM∽Rt△CEB，
∴$\frac{PC}{CE}$=$\frac{CM}{EB}$，
即$\frac{PC}{6\sqrt{5}}$=$\frac{5}{4\sqrt{5}}$，
∴PC=$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理的推论、三角形相似的判定与性质．