Question

10．在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）用尺规作图作Rt△ABC的重心P．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）你认为只要知道Rt△ABC哪一条边的长即可求出它的重心与外心之间的距离？并请你说明理由．

Answer 1

分析 （1）分别作AC、BC的垂直平分线，两线分别交AC、BC于R、H，再连接AH、BR，AH和BR的交点就是P点；
（2）利用直角三角形的性质以及重心的定义得出PO=$\frac{1}{3}CO$，进而得出重心到外心的距离与AB的关系．

解答 解：（1）如图所示：

（2）知道Rt△ABC中AB的长即可求出它的重心与外心之间的距离．
理由：设AB的中点为O，则O为△ABC的外心，且CO=$\frac{1}{2}$AB，
∵点P为△ABC的重心，
∴PO=$\frac{1}{3}CO$，
∴重心到外心的距离PO=$\frac{1}{6}$AB．

点评 此题主要考查了复杂作图以及直角三角形重心以及外心的性质，得出PO=$\frac{1}{3}$CO是解题关键．