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10.在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)用尺规作图作Rt△ABC的重心P.(保留作图痕迹,不要求写作法和证明);
(2)你认为只要知道Rt△ABC哪一条边的长即可求出它的重心与外心之间的距离?并请你说明理由.

分析 (1)分别作AC、BC的垂直平分线,两线分别交AC、BC于R、H,再连接AH、BR,AH和BR的交点就是P点;
(2)利用直角三角形的性质以及重心的定义得出PO=$\frac{1}{3}CO$,进而得出重心到外心的距离与AB的关系.

解答 解:(1)如图所示:

(2)知道Rt△ABC中AB的长即可求出它的重心与外心之间的距离.
理由:设AB的中点为O,则O为△ABC的外心,且CO=$\frac{1}{2}$AB,
∵点P为△ABC的重心,
∴PO=$\frac{1}{3}CO$,
∴重心到外心的距离PO=$\frac{1}{6}$AB.

点评 此题主要考查了复杂作图以及直角三角形重心以及外心的性质,得出PO=$\frac{1}{3}$CO是解题关键.

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