解:(1)∵PE⊥BC,∠BAC=90°,
∴∠PEB=∠BAC,
∵∠B=∠B,
∴△BPE∽△ABC,
∴
即
,
∴PE=
,
∴y=S
△BEP=
BE•PE=
•
=
,
即y=
.
在Rt△ABC中,∠BAC=90,AD⊥BC
∵AB=4,AC=3,
∴BC=5,BD=
,DC=
,
∵0≤BE≤DC,
∴0≤x≤
.
答:y关于x的函数解析式是y=
x
2,自变量x的取值范围是0≤x≤
.
(2)有可能.
当四边形PEFQ是矩形时,有PE=QF,
由已知得PE=
,
与求PE类似可求出QF=
,
∴
=
,
解得x=
,
∴当x=
时,四边形PEFQ是矩形.
(3)分2种情形:
当∠APQ=∠B时,△APQ∽△ABC,
且四边形PEFQ是矩形,此时x=
,
当∠APQ=∠C时,
由三角形面积公式得:
×AC×AB=
BC×AD,
AC=3,AB=4,BC=5,
∴AD=
,
在Rt△ADB中,AB=4,AD=
,由勾股定理得:BD=
,
∴EF=BD=
,
∴CF=5-x-
=
-x,
cos∠C=
=
,
CQ=
CF=
(
-x)=3-
x,
∴AQ=3-(3-
x)=
x,
∵△AQP∽△ABC,
∴
,
即
=
,
解得 x=
,
∴当x=
或
时,以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似.
分析:(1)证△BPE∽△ABC,得到比例式
,代入求出即可;
(2)根据矩形的性质得出PE=QF,把PE和QF的值代入求出即可;
(3)由(2)求出x,再∠APQ=∠C,证△AQP∽△ABC相似,得出比例式,求出即可;
点评:本题主要考查对矩形的性质和判定,相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握,能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键.