Question

如图，四边形OABC是正方形，点A在双曲线y=

18

x

上，点P，Q同时从点A出发，都以每秒1个单位的速度分别沿折线AO-OC和AB-BC向终点C移动，设运动时间为t秒．
①若点P运动在OA上，当t=

 

 秒时，△PAQ的面积是正方形OABC的面积的

1

4

；
②当t=

 

秒时，△PAQ一边上中线的长恰好等于这边的长．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,等腰三角形的性质,勾股定理,正方形的性质

专题：综合题

分析：（1）先求出正方形OABC的面积，再根据条件建立关于t的方程即可求出t．
（2）由于点P沿折线AO-OC向终点C移动，因此需分两种情况讨论：当点P在AO上时，∠PAQ=90°，在△PAQ中不存在一边上中线的长等于这边的长；点P在OC上时，可能是底边上的中线的长等于底边的长，也可能是腰上的中线的长等于腰的长，可借助于等腰三角形的性质（三线合一），勾股定理等，找出线段之间的关系，建立关于t的方程，即可求出t的值．

解答：解：（1）连结AC，交OB于点H，如图1，
∵四边形OABC是正方形，∴OA=AB=BC=OC，OH⊥AH，OH=AH．
∵点A在反比例函数y=

18

x

的图象上，∴S_△OHA=9．
∴

1

2

OH•AH=9．∵OH=AH，∴OH=AH=3

2

．∴OA=6．
∴AB=BC=OC=OA=6．
由题可知：AP=AQ=t，S_△APQ=

1

4

S_{正方形OABC}=

1

4

×6²=9．
∴

1

2

t²=9．∴t=±3

2

．
∵t＞0，∴t=3

2

．
∴当t=3

2

时，△APQ的面积等于正方形OABC的面积的

1

4

．
（2）①若点P在OA上，
由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，一腰上的中线大于腰长（斜边大于直角边），
因此不存在一边上中线的长等于这边的长．
②若点P在OC上，
Ⅰ．若PQ边上的中线AG长等于PQ长，如图2．
∵四边形OABC是正方形，∴AO=BO，∠AOP=∠ABQ=∠C=90°．
∵OP=BQ=t-6，∴AP=AQ．
∵G为PQ的中点，AP=AQ，∴AG⊥PQ，PG=QG．
∵AG=PQ，∴AP²=AG²+PG²=PQ²+（

1

2

PQ）²=

5

4

PQ²．
∴0A²+OP²=

5

4

（PC²+CQ²）．
∴6²+（t-6）²=

5

4

[（12-t）²+[（12-t）²]．
整理得：t²-32t+192=0
解得：t₁=24，t₂=8．
∵6＜t＜12，∴t=8．
Ⅱ．若AP边上的中线QM长等于AP长，如图3．
∵AP=AQ，AP=QM，∴AQ=QM．
过点Q作QN⊥AP，垂足为N，
∵AQ=QM，QN⊥AP，∴AN=MN．∴AN=

1

4

AP．
∵QN⊥AP，∴NQ²=AQ²-AN²=AP²-（

1

4

AP）²=

15

16

AP²．
∴NQ=

15

4

AP．
∵S_△APQ=

1

2

AP•QN=S_{正方形OABC}-S_△AOP-S_△PCQ-S_△ABQ，
∴

1

2

×

15

4

×[6²+（t-6）²]=6²-

1

2

×6×（t-6）-

1

2

（12-t）²-

1

2

×6×（t-6）．
整理得：（4+

15

）t²-（12

15

+48）t+72

15

=0．
解得：t₁=30-6

15

，t₂=6

15

-18．
∵6＜t＜12，∴t=30-6

15

．
综上所述：当t=8或30-6

15

时，△APQ一边上的中线长恰好等于这条边的长．
故答案为：①3

2

；②8或30-6

15

．

点评：本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，考查了割补法、分类讨论等思想方法，对学生运算能力的要求较高．