Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝BC，延长AC到点D，使得CD＝CB，连接BD交⊙O于点E，过点E做BC的平行线交CD于点F．

（1）求证：AE＝DE．

（2）求证：EF为⊙O的切线；

（3）若AB＝5，BE＝3，求弦AC的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．

【解析】

（1）欲证明AE＝DE，只要证明∠EAD＝∠D即可．

（2）欲证明EF是⊙O的切线，只要证明OE⊥EF即可．

（3）利用相似三角形的性质求出AD即可解决问题．

（1）证明：∵CD＝CB，

∴∠DBC＝∠D，

又∵∠DBC＝∠CAE，

∴∠D＝∠CAE，

∴AE＝DE．

（2）证明：∵∠ACB＝∠DBC+∠D＝2∠DBC＝2∠CAE

又∵AB＝BC，

∴∠BAC＝∠ACB

∴∠BAC＝2∠CAE，

∴∠CAE＝∠BAE

∴点E为弧BEC的中点，

连接OE，则OE⊥BC，

又∵EF∥BC，

∴OE⊥EF，

∴EF为圆O的切线．

（3）解：在△ABE和△DBA中，

∵∠BAE＝∠D，∠ABE＝∠DBA，

∴△ABE∽△DBA，

∴，

∴AB2＝BEDB，

∴，

由（1）得，，

∵，

∴，

∵CD＝CB＝AB＝5，

∴．