Question

18．在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，AD=5$\sqrt{2}$，CD=5，∠ABC=90°，求对角线BD的长．

Answer 1

分析 作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，由勾股定理得出AC²=AB²+BC²=25，求出AC²+CD²=AD²，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，证出∠ACB=∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的对应边成比例求出CM=AB=3，DM=BC=4，得出BM=BC+CM=7，再由勾股定理求出BD即可．

解答 解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，如图所示：
则∠M=90°，
∴∠DCM+∠CDM=90°，
∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC²=AB²+BC²=25，
∴AC=5，
∵AD=5$\sqrt{2}$，CD=5，
∴AC²+CD²=AD²，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠DCM=90°，
∴∠ACB=∠CDM，
∵∠ABC=∠M=90°，
∴△ABC∽△CMD，
∴$\frac{AB}{CM}$=$\frac{AC}{CD}$=$\frac{5}{5}$=1，
∴CM=AB=3，DM=BC=4，
∴BM=BC+CM=7，
∴BD=$\sqrt{B{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{65}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质，由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形是解决问题的关键．