Question

如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与x轴交于A、B两点，D是抛物线的顶点，O为坐标原点．A、B两点的横坐标分别是方程x²-4x-12=0的两根，且cos∠DAB=．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）作AC⊥AD，AC交抛物线于点C，求点C的坐标及直线AC的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使△APC的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标和△APC的最大面积；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）解方程x²-4x-12=0得x₁=6，x₂=-2．
∴A（-2，0），B（6，0）．过D作DE⊥x轴于E，
∵D是顶点，
∴点E是AB的中点，
∴E（2，0）．
在Rt△DAE中，
∵cos∠DAB=，
∴∠DAE=45°，
∴AE=DE=4，
∴D（2，4）（由A、B、D三点坐标解出二次函数解析式，不论用顶点式、两根式还是一般式均可），
∴抛物线的解析式为（或写成）；

（2）∵AC⊥AD，由（1）∠DAE=45°得：
∠BAC=45°，作CG⊥x轴于G，△ACG是等腰直角三角形．
∴设C（a，b）（显然a＞0，b＜0），
则b=-a-2，即C（a，-a-2），
∵点C在抛物线上，
∴-a-2=-（a-2）²+4，
a²-8a-20=0，
解之得：a₁=10，a₂=-2（舍去），
∴C（10，-12）设直线AC的方程为y=mx+n，代入A、C的坐标，得，
解之得：，
∴直线AC的解析式为y=-x-2；

（3）存在点P（4，3），使S_△APC最大=54．
理由如下：
作CG⊥x轴于G，PF∥y轴交x轴于Q，交AC于F．设点P的横坐标是h，
则G（10，0），P（h，），F（h，-h-2），
∴PF=，
△PCF的高等于QG．
S_△APC=S_△APF+S_△PCF，
=PF•AQ+PF•QG，
=PF（AQ+QG）=PF•AG，
=，
=（-2＜x＜6），
∴当h=4时，S_△APC最大=54．
点P的坐标为（4，3）．
分析：（1）解出方程x²-4x-12=0的两根即可求出A、B两点的坐标，再利用cos∠DAB=求出D点坐标，进而利用顶点式、两根式或一般式求出二次函数的解析式．
（2）由（1）推得△ACG是等腰直角三角形，据此设出C点坐标C（a，-a-2），将其代入抛物线即可求出a的值，进而求出A、C的坐标，从而求出直线解析式．
（3）将S_△APC分解为S_△APF与S_△PCF的和，求出PF的函数表达式，利用三角形的面积公式得出S_△APC的表达式，转化为二次函数的最值问题解答．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有求抛物线的解析式、直线的解析式、和三角形的面积求法．关于点的存在性问题时要注意分析题意，先假设存在，再进行计算，若能求出该点坐标，则该点存在；若不能求出该点坐标，则该点不存在．