Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上的整点，记△AOP内部（不包括边界）的整点个数为m．
（1）当m=3时，求点B坐标的所有可能值；
（2）当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，用含n的代数式表示m．

Answer 1

考点：规律型：点的坐标

专题：规律型

分析：（1）作出图形，然后根据网格结构确定出点B的可能坐标即可；
（2）作出图形，求出n=1、2、3时的整点个数，即m的值，然后根据矩形内整数点列出算式计算即可得解．

解答：解：（1）当B点的横坐标为3或者4时，即B（3，0）或（4，0）如下图所示，只有3个整点，
坐标分别为（1，1），（1，2），（2，1）；


（2）当n=1时，即B点的横坐标为4，如上图，此时有3个整点；
当n=2时，即B点的横坐标为8，如图1，此时有9个整点；
当n=3时，即B点的横坐标为12，如图2，此时有15个整点；
根据上面的规律，即可得出3，9，15…，
∴整数点m=6n-3，
理由如下：当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，
∵以OB为长OA为宽的矩形内（不包括边界）的整点个数为（4n-1）×3=12n-3，对角线AB上的整点个数总为3，
∴△AOB内部（不包括边界）的整点个数m=（12n-3-3）÷2=6n-3．

点评：本题是对点的坐标变化规律的考查，读懂题目信息，理解整数点的定义，利用数形结合的思想求解更形象直观．