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    （2013•通州区一模）我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点（半圆与二次函数图象的连接点除外），那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点D，AB为半圆直径，半圆圆心为点M，半圆与y轴的正半轴交于点C．
    （1）求经过点C的“蛋圆”的切线的表达式；
    （2）求经过点D的“蛋圆”的切线的表达式；
    （3）已知点E是“蛋圆”上一点（不与点A、点B重合），点E关于x轴的对称点是F，若点F也在“蛋圆”上，求点E的坐标．
    分析：（1）根据题意，先求得C点坐标，然后根据三角形性质求出G点坐标，用待定系数法求出直线EC的解析式；
    （2）因为经过点D的“蛋圆”切线过D点，所以本题可设它的解析式为y=kx-3．根据图象可求出抛物线的解析式，因为相切，所以它们的交点只有一个，进而可根据一元二次方程的有关知识解决问题；
    （3）假设点E在x轴上方的“蛋圆”上，EF与x轴交于点H，连接EM．由HM2+EH2=EM2，点F在二次函数y=x2-2x-3的图象上，可得方程组，以及对称性求解．
    解答：解：（1）由题意得：A（-1，0），B（3，0），D（0，-3），M（1，0）．
    ∴AM=BM=CM=2，
    ∴OC=
    		CM2-OM2
    =
    		3
    ，
    ∴C(0，
    		3
    )
    ∵GC是⊙M的切线，
    ∴∠GCM=90°
    ∴cos∠OMC=
    OM
    MC
    =
    MC
    MG
    ，
    ∴
    1
    2
    =
    2
    MG
    ，
    ∴MG=4，
    ∴G（-3，0），
    ∴直线GC的表达式为y=
    		3
    3
    x+
    		3
    ；

    （2）设过点D的直线表达式为y=kx-3，
    ∴
    y=kx-3
    y=x2-2x-3

    ∴x2-（2+k）x=0，或x1=0，x2=2+k△=[-（2+k）]2=0，或x1=x2，
    ∴k=-2，
    ∴过点D的“蛋圆”的切线的表达式为y=-2x-3．

    （3）假设点E在x轴上方的“蛋圆”上，设E（m，n），则点F的坐标为（m，-n）．
    EF与x轴交于点H，连接EM．
    ∴HM2+EH2=EM2，
    ∴（m-1）2+n2=4，…①；
    ∵点F在二次函数y=x2-2x-3的图象上，
    ∴m2-2m-3=-n，…②
    解由①②组成的方程组得：
    m=1+
    		3
    n=1
    ；
    m=1-
    		3
    n=1
    ．（n=0舍去）
    由对称性可得：
    m=1+
    		3
    n=-1
    ；
    m=1-
    		3
    n=-1
    ．
    ∴E1(1+
    		3
    ，1)    ，E2(1-
    		3
    ，1)    ，E3(1+
    		3
    ，-1)    ，E4(1-
    		3
    ，-1)    ．
    点评：考查了二次函数综合题，此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，并利用切线的性质，结合方程思想来解决问题．
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