Question

（2012•连云港）如图，甲、乙两人分别从A（1，

3

）、B（6，0）两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点．
（1）请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行．
（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？
（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s=MN²，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．

Answer 1

分析：（1）用反证法说明．根据已知条件分别表示相关线段的长度，根据三角形相似得比例式说明；
（2）根据两个点到达O点的时间不同分段讨论解答；
（3）在不同的时间段运用相似三角形的判定和性质分别求解析式，运用函数性质解答问题．

解答：证明：（1）因为A坐标为（1，

3

），
所以OA=2，∠AOB=60°．
因为OM=2-4t，ON=6-4t，
当

2-4t

2

=

6-4t

6

时，解得t=0，
即在甲、乙两人到达O点前，只有当t=0时，△OMN∽△OAB，所以MN与AB不可能平行；

（2）因为甲达到O点时间为t=

1

2

，乙达到O点的时间为t=

6

4

=

3

2

，所以甲先到达O点，所以t=

1

2

或t=

3

2

时，O、M、N三点不能连接成三角形，
①当t≤

1

2

时，如果△OMN∽△OBA，则有

2-4t

6

=

6-4t

2

，解得t=2＞

1

2

，所以，△OMN不可能相似△OBA；
②当

1

2

＜t≤

3

2

时，∠MON＞∠AOB，显然△OMN不相似△OBA；
③当t＞

3

2

时，

4t-2

6

=

4t-6

2

，解得t=2＞

3

2

，所以当t=2时，△OMN∽△OBA；

（3）①当t≤

1

2

时，如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为H，
在Rt△MOH中，因为∠AOB=60°，
所以MH=OMsin60°=（2-4t）×

3

2

=

3

（1-2t），
OH=0Mcos60°=（2-4t）×

1

2

=1-2t，
所以NH=（6-4t）-（1-2t）=5-2t，
所以s=[

3

（1-2t）]²+（5-2t）²=16t²-32t+28
②当

1

2

＜t≤

3

2

时，如图2，作MH⊥x轴，垂足为H，
在Rt△MOH中，MH=

3

2

（4t-2）=

3

（2t-1），NH=

1

2

（4t-2）+（6-4t）=5-2t，
所以s=[

3

（1-2t）]²+（5-2t）²=16t²-32t+28
③当t＞

3

2

时，同理可得s=[

3

（1-2t）]²+（5-2t）²=16t²-32t+28，
综上所述，s=[

3

（1-2t）]²+（5-2t）²=16t²-32t+28．
因为s=16t²-32t+28=16（t-1）²+12，
所以当t=1时，s有最小值为12，所以甲、乙两人距离最小值为2

3

km．

点评：此题综合考查了坐标与图形、相似三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的应用等知识点，难度较大．