Question

9．如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．
（1）求证：CO平分∠ACD；
（2）求证：AB+CD=AC．

Answer 1

分析 （1）过O点作OE⊥AC于点E，利用角平分线的性质定理以及判定定理即可证明．
（2）由Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），推出AB=AE，由Rt△CDO≌Rt△CEO（HL），推出CD=CE，推出AB+CD=AE+CE=AC．

解答 证明：（1）过O点作OE⊥AC于点E．
∵∠ABD=90°且OA平分∠BAC
∴OB=OE，
又∵O是BD中点
∴OB=OD，
∴OE=OD，
∵OE⊥AC，∠D=90°
∴点O在∠ACD 的角平分线上
∴OC平分∠ACD．

（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中
∵$\left\{\begin{array}{l}OA=OA\\ OB=OE\end{array}\right.$
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴AB=AE，
在Rt△CDO和Rt△CEO中
∵$\left\{\begin{array}{l}OC=OC\\ OE=OD\end{array}\right.$
∴Rt△CDO≌Rt△CEO（HL），
∴CD=CE，
∴AB+CD=AE+CE=AC．

点评 本题考查角平分线的性质定理以及判定定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．